很多（上层）数据结构，如 Map、Set 等，它们的基础数据结构都（可以）是 Tree。同时，在数据库中快速搜索（元素）用到了树。HTML 的 DOM 节点也通过树来表示对应的层次结构。以上仅仅是树的一少部分例子。在这篇文章中，我们将探讨不同类型的树，如二叉树、二叉搜索树以及如何实现它们。
在上一篇文章中，我们探讨了数据结构：图，它是树一般化的情况。让我们开始学习树吧！
本篇是以下教程的一部分（译者注：如果大家觉得还不错，我会翻译整个系列的文章）:
初学者应该了解的数据结构与算法（DSA）
初学者应该了解的数据结构：Tree 即本文
树的基本概念
在树中，每个节点可有零个或多个子节点，每个节点都包含一个值。和图一样，节点之间的连接被称为边。树是图的一种，但并不是所有图都是树（只有无环无向图才是树）。
这种数据类型之所以被称为树，是因为它长得很像一棵（倒置的）树 。它从根节点出发，它的子节点是它的分支，没有任何子节点的节点就是树的叶子（即叶节点）。
以下是树的一些属性：
最顶层的节点被称为根（root）节点（译者注：即没有任何父节点的节点）。
没有任何子节点的节点被称为叶节点（leaf node）或者终端节点（terminal node）。
树的度（Height）是最深的叶节点与根节点之间的距离（即边的数量）。
A的度是 3。I的度是 0（译者注：子树也是树，I 的度是指 I 为根节点的子树的度）。
深度（Depth）或者层次（level）是节点与根节点的距离。
H的层次是 2。B的层次是 1。
树的简单实现
正如此前所见，树的节点有一个值，且存有它每一个子节点的引用。
以下是节点的例子：
class TreeNode {
constructor(value) { this.value = value; this.descendents = [];
}
}我们可以创建一棵树，它有三个叶节点：
// create nodes with valuesconst abe = new TreeNode('Abe');const homer = new TreeNode('Homer');const bart = new TreeNode('Bart');const lisa = new TreeNode('Lisa');const maggie = new TreeNode('Maggie');// associate root with is descendentsabe.descendents.push(homer);
homer.descendents.push(bart, lisa, maggie);这样就完成啦，我们有了一棵树！
节点 abe 是根节点，而节点 bart、lisa 和 maggie 则是这棵树的 叶节点。注意，树的节点的子节点可以是任意数量的，无论是 0 个、1 个、3 个或是多个均可。
二叉树
树的节点可以有 0 个或多个子节点。然而，当一棵树（的所有节点）最多只能有两个子节点时，这样的树被称为二叉树。
二叉树是树中最常见的形式之一，它应用广泛，如：
数据库
优先队列
在 LDAP（Lightweight Directory Access Protocol）中查找相应信息。
在 XML/HTML 文件中，使用文档对象模型（DOM）接口进行搜索。
完满二叉树、完全二叉树、完美二叉树
取决于二叉树节点的组织方式，一棵二叉树可以是完满二叉树、完全二叉树或完美二叉树。
完满二叉树（Full binary tree）：除去叶节点，每个节点都有两个子节点。
完全二叉树（Complete binary tree）：除了最深一层之外，其余所有层的节点都必须有两个子节点（译者注：其实还需要最深一层的节点均集中在左边，即左对齐）。
完美二叉树（Perfect binary tree）：满足完全二叉树性质，树的叶子节点均在最后一层（也就是形成了一个完美的三角形）。
（译者注：国内外的定义是不同的，此处根据原文与查找的资料，作了一定的修改，用的是国外的标准）
下图是上述概念的例子：
完满二叉树、完全二叉树与完美二叉树并不总是互斥的：
完美二叉树必然是完满二叉树和完全二叉树。
完美的二叉树正好有 2 的 k 次方 减 1 个节点，其中 k 是树的最深一层（从1开始）。.
完全二叉树并不总是完满二叉树。
正如上面的完全二叉树例子，最右侧的灰色节点是它父子点仅有的一个子节点。如果移除掉它，这棵树就既是完全二叉树，也是完满二叉树。（译者注：其实有了那个灰色节点的话，这颗树不能算是完全二叉树的，因为完满二叉树需要左对齐）
完满二叉树并不一定是完全二叉树与完美二叉树。
二叉搜索树 (BST)
二叉搜索树（Binary Search Tree，简写为：BST）是二叉树的特定应用。BST 的每个节点如二叉树一样，最多只能有两个子节点。然而，BST 左子节点的值必须小于父节点的值，而右子节点的值则必须大于父节点的值。
强调一下：一些 BST 并不允许重复值的节点被添加到树中，如若允许，那么重复值的节点将作为右子节点。有些二叉搜索树的实现，会记录起重复的情况（这也是接下来我们需要实现的）。
一起来实现二叉搜索树吧！
BST 的实现
BST 的实现与上文树的实现相像，然而有两点不同：
节点最多只能拥有两个子节点。
节点的值满足以下关系：
左子节点 < 父节点 < 右子节点。
以下是树节点的实现，与之前树的实现类似，但会为左右子节点添加 getter 与 setter。请注意，实例中会保存父节点的引用，当添加新的子节点时，将更新（子节点中）父节点的引用。
const LEFT = 0;
const RIGHT = 1;class TreeNode { constructor(value) { this.value = value; this.descendents = []; this.parent = null; //译者注：原文并没有以下两个属性，但不加上去话下文的实现会报错
this.newNode.isParentLeftChild = false; this.meta = {};
} get left() { return this.descendents[LEFT];
} set left(node) { this.descendents[LEFT] = node; if (node) {
node.parent = this;
}
} get right() { return this.descendents[RIGHT];
} set right(node) { this.descendents[RIGHT] = node; if (node) {
node.parent = this;
}
}
}OK，现在已经可以添加左右子节点。接下来将编写 BST 类，使其满足 左子节点 < 父节点 < 右子节点。
class BinarySearchTree {
constructor() { this.root = null; this.size = 0;
} add(value) { /* ... */ }
find(value) { /* ... */ } remove(value) { /* ... */ }
getMax() { /* ... */ }
getMin() { /* ... */ }
}下面先编写插入新节点相关的的代码。
BST 节点的插入
要将一个新的节点插入到二叉搜索树中，我们需要以下三步：
如果树中没有任何节点，第一个节点当成为根节点。
（将新插入节点的值）与树中的根节点或树节点进行对比，如果值 _更大_，则放至右子树（进行下一次对比），反之放到左子树（进行对比） 。如果值一样，则说明被重复添加，可增加重复节点的计数。
重复第二点操作，直至找到空位插入新节点。
让我们通过以下例子来说明，树中将依次插入30、40、10、15、12、50：
代码实现如下：
add(value) {
const newNode = new TreeNode(value); if (this.root) {
const { found, parent } = this.findNodeAndParent(value); if (found) { // duplicated: value already exist on the tree
found.meta.multiplicity = (found.meta.multiplicity || 1) + 1;
} else if (value < parent.value) {
parent.left = newNode; //译者注：原文并没有这行代码，但不加上去的话下文实现会报错
newNode.isParentLeftChild = true;
} else {
parent.right = newNode;
}
} else { this.root = newNode;
} this.size += 1; return newNode;
}我们使用了名为 findNodeAndParent 的辅助函数。如果（与新插入节点值相同的）节点已存在于树中，则将节点统计重复的计数器加一。看看这个辅助函数该如何实现：
findNodeAndParent(value) {
let node = this.root;
let parent;
while (node) {
if (node.value === value) {
break;
}
parent = node;
node = ( value >= node.value) ? node.right : node.left;
}
return { found: node, parent };
}findNodeAndParent 沿着树的结构搜索值。它从根节点出发，往左还是往右搜索取决于节点的值。如果已存在相同值的节点，函数返回找到的节点（即相同值的节点）与它的父节点。如果没有相同值的节点，则返回最后找到的节点（即将变为新插入节点父节点的节点）。
BST 节点的删除
我们已经知道如何（在二叉搜索树中）插入与查找值，现在将实现删除操作。这比插入而言稍微麻烦一点，让我们用下面的例子进行说明：
删除叶节点（即没有任何子节点的节点）
30 30 / \ remove(12) / \10 40 ---------> 10 40 \ / \ \ / \ 15 35 50 15 35 50 /12*
只需要删除父节点（即节点 #15）中保存着的 节点 #12 的引用即可。
删除有一个子节点的节点
30 30 / \ remove(10) / \10* 40 ---------> 15 40 \ / \ / \ 15 35 50 35 50
在这种情况中，我们将父节点 #30 中保存着的子节点 #10 的引用，替换为子节点的子节点 #15 的引用。
删除有两个子节点的节点
30 30 / \ remove(40) / \15 40* ---------> 15 50 / \ / 35 50 35
待删除的节点 #40 有两个子节点（#35 与 #50）。我们将待删除节点替换为节点 #50。待删除的左子节点 #35 将在原位不动，但它的父节点已被替换。
另一个删除节点 #40 的方式是：将左子节点 #35 移到节点 #40 的位置，右子节点位置保持不变。
30 / \15 35 \ 50
两种形式都可以，这是因为它们都遵循了二叉搜索树的原则：左子节点 < 父节点 < 右子节点。
删除根节点
30* 50 / \ remove(30) / \15 50 ---------> 15 35 / 35
删除根节点与此前讨论的机制情况差不多。唯一的区别是需要更新二叉搜索树实例中根节点的引用。
以下的动画是上述操作的具体展示：
在动画中，被移动的节点是左子节点或者左子树，右子节点或右子树位置保持不变。
关于删除节点，已经有了思路，让我们来实现它吧：
remove(value) {
const nodeToRemove = this.find(value); if (!nodeToRemove) return false; // Combine left and right children into one subtree without nodeToRemove
const nodeToRemoveChildren = this.combineLeftIntoRightSubtree(nodeToRemove); if (nodeToRemove.meta.multiplicity && nodeToRemove.meta.multiplicity > 1) {
nodeToRemove.meta.multiplicity -= 1; // handle duplicated
} else if (nodeToRemove === this.root) { // Replace (root) node to delete with the combined subtree.
this.root = nodeToRemoveChildren; this.root.parent = null; // clearing up old parent
} else {
const side = nodeToRemove.isParentLeftChild ? 'left' : 'right';
const { parent } = nodeToRemove; // get parent
// Replace node to delete with the combined subtree.
parent[side] = nodeToRemoveChildren;
} this.size -= 1; return true;
}以下是实现中一些要注意的地方：
首先，搜索待删除的节点是否存在。如果不存在，返回
false。如果待删除的节点存在，则将它的左子树合并到右子树中，组合为一颗新子树。
替换待删除的节点为组合好的子树。
将左子树组合到右子树的函数如下：
combineLeftIntoRightSubtree(node) {
if (node.right) {
//译者注：原文是 getLeftmost，寻找左子树最大的节点，这肯定有问题，应该是找最小的节点才对
const leftLeast = this.getLefLeast(node.right);
leftLeast.left = node.left;
return node.right;
}
return node.left;
}正如下面例子所示，我们想把节点 #30 删除，将待删除节点的左子树整合到右子树中，结果如下：
30* 40 / \ / \10 40 combine(30) 35 50 \ / \ -----------> / 15 35 50 10 \ 15
现在把新的子树的根节点作为整个二叉树的根节点，节点 #30 将不复存在！
二叉树的遍历
根据遍历的顺序，二叉树的遍历有若干种形式：中序遍历、先序遍历与后序遍历。同时，我们也可以使用在《初学者应该了解的数据结构： Graph》一文中学到的 DFS 或 BFS 来遍历整棵树。以下是具体的实现：
中序遍历（In-Order Traversal）
中序遍历访问节点的顺序是：左子节点、节点本身、右子节点。
* inOrderTraversal(node = this.root) {
if (node.left) { yield* this.inOrderTraversal(node.left); }
yield node;
if (node.right) { yield* this.inOrderTraversal(node.right); }
}用以下这棵树作为例子：
10 / \ 5 30 / / \ 4 15 40 /3
中序遍历将按照以下顺序输出对应的值：3、4、5、10、15、30、40。也就是说，如果待遍历的树是一颗二叉搜索树，那输出值的顺序将是升序的。
后序遍历（Post-Order Traversal）
后序遍历访问节点的顺序是：左子节点、右子节点、节点本身。
* postOrderTraversal(node = this.root) {
if (node.left) { yield* this.postOrderTraversal(node.left); }
if (node.right) { yield* this.postOrderTraversal(node.right); }
yield node;
}后序遍历将按照以下顺序输出对应的值：3、4、5、15、40、30、10。
先序遍历与 DFS（Pre-Order Traversal）
先序遍历访问节点的顺序是：节点本身、左子节点、右子节点。
* preOrderTraversal(node = this.root) {
yield node;
if (node.left) { yield* this.preOrderTraversal(node.left); }
if (node.right) { yield* this.preOrderTraversal(node.right); }
}先序遍历将按照以下顺序输出对应的值：10、5、4、3、30、15、40。与深度优先搜索（DPS）的顺序是一致的。
广度优先搜索 (BFS)
树的 BFS 可以通过队列来实现：
* bfs() {
const queue = new Queue();
queue.add(this.root); while (!queue.isEmpty()) {
const node = queue.remove();
yield node;
node.descendents.forEach(child => queue.add(child));
}
}BFS 将按照以下顺序输出对应的值：10、5、30、4、15、40、3。
平衡树 vs. 非平衡树
目前，我们已经讨论了如何新增、删除与查找元素。然而，我们并未谈到（相关操作的）时间复杂度，先思考一下最坏的情况。
假设按升序添加数字：
树的左侧没有任何节点！在这颗非平衡树（ Non-balanced Tree）中进行查找元素并不比使用链表所花的时间短，都是 O(n)。
在非平衡树中查找元素，如同以逐页翻看的方式在字典中寻找一个单词。但如果树是平衡的，将类似于对半翻开字典，视乎该页的字母，选择左半部分或右半部分继续查找（对应的词）。
需要找到一种方式使树变得平衡！
如果树是平衡的，查找元素不在需要遍历全部元素，时间复杂度降为 O(log n)。让我们探讨一下平衡树的意义。
如果在非平衡树中寻找值为 7 的节点，就必须从节点 #1 往下直到节点 #7。然而在平衡树中，我们依次访问 #4、#6 后，下一个节点将到达 #7。随着树规模的增大，（非平衡树的）表现会越来越糟糕。如果树中有上百万个节点，查找一个不存在的元素需要上百万次访问，而平衡树中只要20次！这是天壤之别！
我们将在下一篇文章中通过自平衡树来解决这个问题。
总结
我们讨论了不少树的基础，以下是相关的总结：
树是一种数据结构，它的节点有 0 个或多个子节点。
树并不存在环，图才存在。
在二叉树中，每个节点最多只有两个子节点。
当一颗二叉树中，左子节点的值小于节点的值，而右子节点的值大于节点的值时，这颗树被称为二叉搜索树。
可以通过先序、后续和中序的方式访问一棵树。
在非平衡树中查找的时间复杂度是 O(n)。 ?
在平衡树中查找的时间复杂度是 O(log n)。
译文出处：https://www.zcfy.cc/article/tree-data-structures-for-beginners
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