在这篇文章中，我们将要探索非线性的数据结构：图，将涵盖它的基本概念及其典型的应用。

你很可能在不同的应用中接触到图（或树）。比如你想知道从家出发怎么去公司最近，就可以利用图的（寻路）算法来得到答案！我们将探讨上述场景与其他有趣的情况。

在上一篇文章中，我们探讨了线性的数据结构，如数组、链表、集合、栈等。本文将以此（译者注：即 

以下是本文对图操作的小结：

图的基础

图是一种（包含若干个节点），每个节点可以连接 0 个或多个元素

两个节点相连的部分称为边（edge）。节点也被称作顶点（vertice）。

一个顶点的度（degree）是指与该顶点相连的边的条数。比如上图中，紫色顶点的度是 3，蓝色顶点的度是 1。

如果所有的边都是双向（译者注：或者理解为没有方向）的，那我们就有了一个无向图（undirected graph）。反之如果边是有向的，我们得到的就是有向图（directed graph）。你可以将有向图和无向图想象为单行道或双行道组成的交通网。

顶点的边可以是从自己出发再连接回自己（如蓝色的顶点），拥有这样的边的图被称为自环。

图可以有环（cycle），即如果遍历图的顶点，某个顶点可以被访问超过一次。而没有环的图被称为无环图（acyclic graph）。

此外，无环无向图也被称为树（tree）。在下篇文章中，我们将深入套路这种数据结构。

在图中，从一个顶点出发，并非所有顶点都是可到达的。可能会存在孤立的顶点或者是相分离的子图。如果一个图所有顶点都至少有一条边（译者注：原文表述有点奇怪，个人认为不应该是至少有一条边，而是从任一节点出发，沿着各条边可以访问图中任意节点），这样的图被称为连通图（connected graph）。而当一个图中两两不同的顶点之间都恰有一条边相连，这样的图就是完全图（complete graph）。

对于完全图而言，每个顶点都有 图的顶点数 - 1 条边。在上面完全图的例子中，一共有7个顶点，因此每个顶点有6条边。

图的应用

当图的每条边都被分配了权重时，我们就有了一个加权图（weighted graph）。如果边的权重被忽略，那么可以将（每条边的）权重都视为 1（译者注：权重都是一样，也就是无权重）。

加权图应用的场景很多，根据待解决问题主体的不同，有不同的展现。一起来看一些具体的场景吧：

• 航空线路图 (如上图所示)

• 顶点 = 机场

• 边 = 两个机场间的飞行线路

• 权重 = 两个机场间的距离

• GPS 导航

• 顶点 = 交叉路口

• 边 = 道路

• 权重 = 从一个路口到另一个路口所花的时间

• 网络

• 顶点 = 服务器

• 边 = 数据链路

• 权重 = 连接速度

一般而言， 图在现实世界中的应用有：

• 电子电路

• 航空控制

• 行车导航

• 电信设施： 基站建设规划

• 社交网络： Facebook 利用图来推荐（你可能认识的）朋友

• 推荐系统： Amazon/Netflix 利用图来推荐产品与电影

• 利用图来规划物流线路

我们学习了图的基础以及它的一些应用场景。接下来一起学习怎么使用代码来表示图。

图的表示

图的表示有两种主要方式：

1. 邻接表

2. 邻接矩阵

让我们以有向图为例子，阐述这两种表示方式：

这是一个拥有四个顶点的图。当一个顶点有一条边指向它自身时（译者注：即闭合的路径），称之为自环（self-loop）。

邻接矩阵

邻接矩阵使用二维数组（N x N）来表示图。如若不同顶点存在连接的边，就赋值两顶点交汇处为1（也可以是这条边的权重），反之赋值为 0 或者 -。

我们可以通过建立以下的邻接矩阵，来表示上面的图：

  a b c d ea 1 1 - - -b - - 1 - -
c - - - 1 -
d - 1 1 - -

如你所见，矩阵水平与垂直两个方向都列出了所有的顶点。如果图中只有很少顶点互相连接，那么这个图就是稀疏图（sparse graph）。如果图相连的顶点很多（接近两两顶点都相连）的话，我们称这种图为稠密图（dense graph）。而如果图的每个顶点都直接连接到除此之外的所有顶点，那就是一个完全图（complete graph）。

注意，你必须意识到对于无向图而言，邻接矩阵始终是对角线对称的。然而，对于有向图而言，并非总是如此（反例如上面的有向图）。

那查询两个顶点是否相邻的时间复杂度是什么呢？

在邻接矩阵中，查询两个顶点是否相邻的时间复杂度是  O(1)。

那空间复杂度呢？

利用邻接矩阵存储一个图，空间复杂度是 O(n²)，n 为顶点的数量，因此也可以表示为 O(|V|²)。

添加一个顶点的时间复杂度呢？

邻接矩阵根据顶点的数量存储为  V x V 的矩阵。因此每增加一个顶点，矩阵需要重建为 V+1 x V+1 的新矩阵。

（因此，）在邻接矩阵中添加一个顶点的时间复杂度是 O(|V|²)。

如何获取相邻的顶点？

由于邻接矩阵是一个 V x V 的矩阵，为了获取所有相邻的顶点，我们必须去到该顶点所在的行中，查询它与其他顶点是否有边。

以上面的邻接矩阵为例，假设我们想知道与顶点 b 相邻的顶点有哪些，就需要到达记录 b 与其他节点关系的那一行中进行查询。

  a b c d eb - - 1 - -

访问它与其他所有顶点的关系，因此：

在邻接矩阵中，查询相邻顶点的时间复杂度是  O(|V|)。

想象一下，如果你需要将 FaceBook 中人们的关系网表示为一个图。你必须建立一个 20亿 x 20亿 的邻接矩阵，而该矩阵中很多位置都是空的。没有任何人可能认识其他所有人，最多也就认识几千个人。

通常，我们使用邻接矩阵处理稀疏图时，会浪费很多空间。这就是大多时候使用邻接表而不是邻接矩阵去表示一个图的原因（译者注：邻接矩阵也有优势的，尤其是表示有向稠密图时，比邻接表要方便得多）。

邻接表

表示一个图，最常用的方式是邻接表。每个顶点都有一个记录着与它所相邻顶点的表。

可以使用一个数组或者 HashMap 来建立一个邻接表，它存储这所有的顶点。每个顶点都有一个列表（可以是数组、链表、集合等数据结构），存放着与其相邻的顶点。

例如上面的图，对于顶点 a，与之相邻的有顶点 b，同时也是自环；而顶点 b 则有指向顶点 c 的边，如此类推：

a -> { a b }b -> { c }
c -> { d }
d -> { b c }

和想象中的一样，如果想知道一个顶点是否连接着其他顶点，就必须遍历（顶点的）整个列表。

在邻接表中查询两个顶点是否相连的时间复杂度是 O(n)，n 为顶点的数量，因此也可以表示为  O(|V|)。

那空间复杂度呢？

利用邻接表存储一个图的空间复杂度是  O(n)，n 为顶点数量与边数量之和，因此也可以表示为 O(|V| + |E|)。

基于 HashMap 实现的邻接表

要表示一个图，最常见的方式是使用邻接表。有几种实现邻接表的方式：

最简单的实现方式之一是使用 HashMap。HashMap 的键是顶点的值，HashMap 的值是一个邻接数组（即也该顶点相邻顶点的集合）。

const graph = {
  a：[ 'a'，'b' ]，
  b：[ 'c' ]，
  c：[ 'd' ]，
  d：[ 'b'，'c' ]
};

图通常需要实现以下两种操作：

• 添加或删除顶点。

• 添加或删除边。

添加或删除一个顶点需要更新邻接表。

假设需要删除顶点 b。我们不但需要 delete graph['b']，还需要删除顶点 a 与顶点 d 的邻接数组中的引用。

每当移除一个顶点，都需要遍历整个邻接表，因此时间复杂度是 O(|V| + |E|)。有更好的实现方式吗？稍后再回答这问题。首先让我们以更面向对象的方式实现邻接表，之后切换（邻接表的底层）实现将更容易。

基于邻接表，以面向对象风格实现图

先从顶点的类开始，在该类中，除了保存顶点自身以及它的相邻顶点集合之外，还会编写一些方法，用于在邻接表中增加或删除相邻的顶点。

class Node {
  constructor(value) {
    this.value = value;
    this.adjacents = []; // adjacency list
  }

  addAdjacent(node) {
    this.adjacents.push(node);
  }

  removeAdjacent(node) {
    const index = this.adjacents.indexOf(node);
    if (index > -1) {
      this.adjacents.splice(index, 1);
      return node;
    }
  }

  getAdjacents() {
    return this.adjacents;
  }

  isAdjacent(node) {
    return this.adjacents.indexOf(node) > -1;
  }
}

注意，addAdjacent 方法的时间复杂度是  O(1)，但删除相邻顶点的函数时间复杂度是  O(|E|)。如果不使用数组而是用 HashSet 会怎样呢？（删除相邻顶点的）时间复杂度会下降到 O(1)。但现在先让代码能跑起来，之后再做优化。

Make it work. Make it right. Make it faster.

现在有了 Node 类，是时候编写 Graph 类，它可以执行添加或删除顶点和边。

Graph.constructor

class Graph {  constructor(edgeDirection = Graph.DIRECTED) {    this.nodes = new Map();    this.edgeDirection = edgeDirection;
  }  // ...}
Graph.UNDIRECTED = Symbol('directed graph'); // one-way edgesGraph.DIRECTED = Symbol('undirected graph'); // two-ways edges

首先，我们需要确认图是有向还是无向的，当添加边时，这会有所不同。

Graph.addEdge

添加一条新的边，需要知道两个顶点：边的起点与边的终点。

addEdge(source, destination) {
  const sourceNode = this.addVertex(source);
  const destinationNode = this.addVertex(destination);
  sourceNode.addAdjacent(destinationNode);  if(this.edgeDirection === Graph.UNDIRECTED) {
    destinationNode.addAdjacent(sourceNode);
  }  return [sourceNode, destinationNode];
}

我们往边的起点添加了一个相邻顶点（即边的终点）。如果该图是无向图，也需要往边的终点添加一个相邻顶点（即边的起点），因为（无向图中）边是双向的。

在邻接表中新增一条边的时间复杂度是：O(1)。

如果新添加的边两端的顶点并不存在，就必需先创建（不存在的顶底），下面让我们来实现它！

Graph.addVertex

创建顶点的方式是往 this.nodes 中新增一个顶点。this.nodes 中存储着的是一组组键值对，键是顶点的值，值是 Node 类的实例。注意看下面代码的 5-6 行（即 const vertex = new Node(value); this.nodes.set(value, vertex);）：

addVertex(value) {  if(this.nodes.has(value)) {    return this.nodes.get(value);
  } else {    const vertex = new Node(value);    this.nodes.set(value, vertex);    return vertex;
  }
}

没必要覆写已存在的顶点。因此先检查一下顶点是否存在，如果不存在才创造一个新节点。

在邻接表中新增一个顶点的时间复杂度是： O(1)。

Graph.removeVertex

从一个图中删除一个顶点会相对麻烦一点。我们必须检查待删除的顶点是否为其他顶点的相邻顶点。

removeVertex(value) {  const current = this.nodes.get(value);  if(current) {    for (const node of this.nodes.values()) {
      node.removeAdjacent(current);
    }
  }  return this.nodes.delete(value);
}

必须访问每个顶点及其它们的相邻顶点集合。

在邻接表中删除一个顶点的时间复杂度是： O(|V| + |E|)。

最后，一起来实现删除一条边吧！

Graph.removeEdge

删除一条边是十分简单的，与新增一条边类似。

removeEdge(source, destination) {
  const sourceNode = this.nodes.get(source);
  const destinationNode = this.nodes.get(destination);  if(sourceNode && destinationNode) {
    sourceNode.removeAdjacent(destinationNode);    if(this.edgeDirection === Graph.UNDIRECTED) {
      destinationNode.removeAdjacent(sourceNode);
    }
  }  return [sourceNode, destinationNode];
}

删除与新增一条边主要的不同是：

• 如果边两端的顶点不存在，不再需要创建它。

• 使用Node.removeAdjacent 而不是 Node.addAdjacent。

由于 removeAdjacent 需要遍历相邻节点的集合，因此它的运行时是：

在邻接表中删除一条边的时间复杂度是：  O(|E|)。

接下来，我们将讨论如何从图中搜索。

广度优先搜索(BFS) - 图的搜索

广度优先搜索是一种从最初的顶点开始，优先访问所有相邻顶点的搜索方法。

接下来一起看看如何用代码来实现它：

*bfs(first) {
  const visited = new Map();
  const visitList = new Queue();
  visitList.add(first);
  while(!visitList.isEmpty()) {
    const node = visitList.remove();
    if(node && !visited.has(node)) {
      yield node;
      visited.set(node);
      node.getAdjacents().forEach(adj => visitList.add(adj));
    }
  }
}

正如你所见的一样，我们使用了一个队列来暂存待访问的顶点，队列遵循先进先出（FIFO）的原则。

同时也是用了 JavaScript generators，要注意函数名前面 *（，那是生成器的标志）。通过生成器，可以一次迭代一个值（即顶点）。对于巨型（包含数以百万计的顶点）的图而言是很有用的，很多情况下不用访问图的每一个顶点。

以下是如何使用上述 BFS 代码的示例：

const graph = new Graph(Graph.UNDIRECTED);
const [first] = graph.addEdge(1, 2);
graph.addEdge(1, 3);
graph.addEdge(1, 4);
graph.addEdge(5, 2);
graph.addEdge(6, 3);
graph.addEdge(7, 3);
graph.addEdge(8, 4);
graph.addEdge(9, 5);
graph.addEdge(10, 6);
bfsFromFirst = graph.bfs(first);
bfsFromFirst.next().value.value; // 1bfsFromFirst.next().value.value; // 2bfsFromFirst.next().value.value; // 3bfsFromFirst.next().value.value; // 4// ...

你可以在这找到更多的测试代码。

接下来该讲述深度优先搜索了！

深度优先搜索 (DFS) -图的搜索

深度优先搜索是图的另一种搜索方法，通过递归搜索顶点的首个相邻顶点，再搜索其他相邻顶点，从而访问所有的顶点。

DFS 的实现近似于 BFS，但使用的是栈而不是队列：

*dfs(first) {
  const visited = new Map();
  const visitList = new Stack();
  visitList.add(first);
  while(!visitList.isEmpty()) {
    const node = visitList.remove();
    if(node && !visited.has(node)) {
      yield node;
      visited.set(node);
      node.getAdjacents().forEach(adj => visitList.add(adj));
    }
  }
}

测试例子如下：

const graph = new Graph(Graph.UNDIRECTED);const [first] = graph.addEdge(1, 2);graph.addEdge(1, 3);graph.addEdge(1, 4);graph.addEdge(5, 2);graph.addEdge(6, 3);graph.addEdge(7, 3);graph.addEdge(8, 4);graph.addEdge(9, 5);graph.addEdge(10, 6);dfsFromFirst = graph.dfs(first);visitedOrder = Array.from(dfsFromFirst);const values = visitedOrder.map(node => node.value);console.log(values); // [1, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 2, 5, 9]

正如你所看到的，BFS 与 DFS 所用的图（的数据）是一样的，然而访问顶点的顺序却非常不一样。BFS 是从 1 到 10 按顺序输出，DFS 则是先进入最深处访问顶点（译者注：其实这个例子是先序遍历，看起来可能不太像先深入最深处）。

图的时间与空间复杂度

我们接触了图的一些基础操作，如何添加和删除一个顶点或一条边，以下是前文涵盖内容的小结：

正如上表所示，邻接表中几乎所有的操作方法都是更快的。邻接矩阵比邻接表性能更高的方法只有一处：检查顶点是否与其他顶点相邻，然而使用 HashSet 而不是 Array 实现邻接表的话，也能在恒定时间内获取结果 :)

总结

图可以是很多现实场景的抽象，如机场，社交网络，互联网等。我们介绍了一些图的基础算法，如广度优先搜索（BFS）与深度优先搜索（DFS）等。同时权衡了图的不同实现方式：邻接矩阵和邻接表。我们将在另外一篇文章（更深入地）介绍图的其他应用，如查找图的两个顶点间的最短距离及其他有趣的算法（译者注：这篇文章介绍的比较基础，图的各种算法才是最有趣的，有兴趣的同学可以搜索相关的慕课)）。

译文出处