动态规划法（七）鸡蛋掉落问题（二）

  上次我们讲到，我们的主人公丁丁由于用动态规划法解决了鸡蛋掉落问题（egg dropping problem）而获得了当地科学家的赏识。这不，正当丁丁还沉浸在解决问题的喜悦中，科学家又给丁丁出了一个难题：

假设有n个鸡蛋和d次尝试机会，那么，最多能探索多少层楼？

这无疑是鸡蛋问题的翻版，因为这两个问题实在太像了。丁丁没有犹豫，立马按照之前的想法开始思考：

  用f(d,n)$f(d,n)$表示该问题的解。假设从k层楼扔下鸡蛋（k足够大），若鸡蛋碎了，则剩下n-1个鸡蛋，d-1次尝试机会，最多能向下探索f(d−1,n−1)$f(d-1,n-1)$层楼；若鸡蛋没碎，则剩下n个鸡蛋，d-1次尝试机会，最多能向上探索f(d−1,n)$f(d-1,n)$层楼，于是：

f(d,n)=1+f(d−1,n−1)+f(d−1,n).$f(d,n)=1+f(d-1,n-1)+f(d-1,n).$

令g(d,n)=f(d,n+1)−f(d,n)$g(d,n)=f(d,n+1)-f(d,n)$,则：

g(d,n)=f(d,n+1)−f(d,n)=[1+f(d−1,n)+f(d−1,n+1)]−[1+f(d−1,n−1)+f(d−1,n)]=[f(d−1,n+1)−f(d−1,n)]+[f(d−1,n)−f(d−1,n−1)]=g(d−1,n)+g(d−1,n−1)$\begin{array}{cc}g(d,n)& =f(d,n+1)-f(d,n)\\ & =[1+f(d-1,n)+f(d-1,n+1\left)\right]-[1+f(d-1,n-1)+f(d-1,n\left)\right]\\ & =\left[f\right(d-1,n+1)-f(d-1,n\left)\right]+\left[f\right(d-1,n)-f(d-1,n-1\left)\right]\\ & =g(d-1,n)+g(d-1,n-1)\end{array}$

因为f(0,n)=f(d,0)=0$f(0,n)=f(d,0)=0$,对于任意的n,d$n,d$，且f(d,1)=d$f(d,1)=d$,故g(0,n)=0,g(d,0)=d.$g(0,n)=0,g(d,0)=d.$因为在组合数学中，有：

Ckn=Ckn−1+Ck−1n−1,$C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1},$

因此，由数学归纳法可知：g(d,n)=Cn+1d.$g(d,n)=C_d^{n+1}.$当n+1≥d$n+1\ge d$时，Cn+1d=0.$C_d^{n+1}=0.$对于f(d,n)$f(d,n)$,有：

f(d,n)=++++[f(d,n)−f(d,n−1)][f(d,n−1)−f(d,n−2)]⋯[f(d,1)−f(d,0)]f(d,0).$\begin{array}{cc}f(d,n)=& \left[f\right(d,n)-f(d,n-1\left)\right]\\ +& \left[f\right(d,n-1)-f(d,n-2\left)\right]\\ +& \cdots \\ +& \left[f\right(d,1)-f(d,0\left)\right]\\ +& f(d,0).\end{array}$

因为f(d,0)=0$f(d,0)=0$,因此f(d,n)=∑i=1nCid,d≥1.$f(d,n)=\sum _{i=1}^n{C}_d^i,d\ge 1.$于是，科学家的问题就解决了。
  突然，丁丁又想到了：能不能用这个结果来解决鸡蛋掉落问题呢？答案是肯定的，对于给定的k=f(d,n)$k=f(d,n)$,只需要对d从1开始算起，得到d,恰好使得f(d,n)≥k,$f(d,n)\ge k,$则d即可鸡蛋掉落问题的解。
  科学家看了丁丁的解答，十分满意，他终于下定决心招丁丁为自己的助手。不过，丁丁说，他还要去外面的世界再看看，因此，科学家也没有挽留，但他祝愿丁丁好运。
  本文不再给出相关的程序，读者可以自己实现哦~~
  本文的参考文献为：https://brilliant.org/wiki/egg-dropping/ 。

  上次我们讲到，我们的主人公丁丁由于用动态规划法解决了鸡蛋掉落问题（egg dropping problem）而获得了当地科学家的赏识。这不，正当丁丁还沉浸在解决问题的喜悦中，科学家又给丁丁出了一个难题：

假设有n个鸡蛋和d次尝试机会，那么，最多能探索多少层楼？

这无疑是鸡蛋问题的翻版，因为这两个问题实在太像了。丁丁没有犹豫，立马按照之前的想法开始思考：

  用f(d,n)$f(d,n)$表示该问题的解。假设从k层楼扔下鸡蛋（k足够大），若鸡蛋碎了，则剩下n-1个鸡蛋，d-1次尝试机会，最多能向下探索f(d−1,n−1)$f(d-1,n-1)$层楼；若鸡蛋没碎，则剩下n个鸡蛋，d-1次尝试机会，最多能向上探索f(d−1,n)$f(d-1,n)$层楼，于是：

f(d,n)=1+f(d−1,n−1)+f(d−1,n).$f(d,n)=1+f(d-1,n-1)+f(d-1,n).$

令g(d,n)=f(d,n+1)−f(d,n)$g(d,n)=f(d,n+1)-f(d,n)$,则：

g(d,n)=f(d,n+1)−f(d,n)=[1+f(d−1,n)+f(d−1,n+1)]−[1+f(d−1,n−1)+f(d−1,n)]=[f(d−1,n+1)−f(d−1,n)]+[f(d−1,n)−f(d−1,n−1)]=g(d−1,n)+g(d−1,n−1)$\begin{array}{cc}g(d,n)& =f(d,n+1)-f(d,n)\\ & =[1+f(d-1,n)+f(d-1,n+1\left)\right]-[1+f(d-1,n-1)+f(d-1,n\left)\right]\\ & =\left[f\right(d-1,n+1)-f(d-1,n\left)\right]+\left[f\right(d-1,n)-f(d-1,n-1\left)\right]\\ & =g(d-1,n)+g(d-1,n-1)\end{array}$

因为f(0,n)=f(d,0)=0$f(0,n)=f(d,0)=0$,对于任意的n,d$n,d$，且f(d,1)=d$f(d,1)=d$,故g(0,n)=0,g(d,0)=d.$g(0,n)=0,g(d,0)=d.$因为在组合数学中，有：

Ckn=Ckn−1+Ck−1n−1,$C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1},$

因此，由数学归纳法可知：g(d,n)=Cn+1d.$g(d,n)=C_d^{n+1}.$当n+1≥d$n+1\ge d$时，Cn+1d=0.$C_d^{n+1}=0.$对于f(d,n)$f(d,n)$,有：

f(d,n)=++++[f(d,n)−f(d,n−1)][f(d,n−1)−f(d,n−2)]⋯[f(d,1)−f(d,0)]f(d,0).$\begin{array}{cc}f(d,n)=& \left[f\right(d,n)-f(d,n-1\left)\right]\\ +& \left[f\right(d,n-1)-f(d,n-2\left)\right]\\ +& \cdots \\ +& \left[f\right(d,1)-f(d,0\left)\right]\\ +& f(d,0).\end{array}$

因为f(d,0)=0$f(d,0)=0$,因此f(d,n)=∑i=1nCid,d≥1.$f(d,n)=\sum _{i=1}^n{C}_d^i,d\ge 1.$于是，科学家的问题就解决了。
  突然，丁丁又想到了：能不能用这个结果来解决鸡蛋掉落问题呢？答案是肯定的，对于给定的k=f(d,n)$k=f(d,n)$,只需要对d从1开始算起，得到d,恰好使得f(d,n)≥k,$f(d,n)\ge k,$则d即可鸡蛋掉落问题的解。
  科学家看了丁丁的解答，十分满意，他终于下定决心招丁丁为自己的助手。不过，丁丁说，他还要去外面的世界再看看，因此，科学家也没有挽留，但他祝愿丁丁好运。
  本文不再给出相关的程序，读者可以自己实现哦~~
  本文的参考文献为：https://brilliant.org/wiki/egg-dropping/ 。

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