递归函数

递归函数相关知识

• c语言递归函数。。。。。。。。。

  递归函数特点： 1.每一级函数调用时都有自己的变量，但是函数代码并不会得到复制，如计算5的阶乘时每递推一次变量都不同； 2.每次调用都会有一次返回，如计算5的阶乘时每递推一次都返回进行下一次； 3.递归函数中，位于递归调用前的语句和各级被调用函数具有相同的执行顺序； 4.递归函数中，位于递归调用后的语句的执行顺序和各个被调用函数的顺序相反； 5.递归函数中必须有终止语句。 一句话总结递归：自我调用且有完成状态。
• Python3之递归函数简单示例

  概述 递归函数即直接或间接调用自身的函数，且递归过程中必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。递归极其强大一点就是能够遍历任意的，不可预知的程序的结构，比如遍历复杂的嵌套列表。 递归求和 我们可以利用递归函数实现一个Python内置函数sum()的递归版。 # 递归 def d_sum(L): if not L: return 0 else: return L[0] + d_sum(L[1:]) sum_l = d_sum(range(10)) print(sum_l) 示例结果 45 该递归函数怎么实现列表元素相加的呢？ 我们知道函数是有本地作用域的
• 一些基础的python语句9 递归函数

  非递归函数： def num(n): result=n for i in range(1,n): result*=i return result 递归函数： def num(n): if n==1: return 1 else: return n*num(n-1) 这两个都是求阶乘的函数 一的阶乘为1 如果阶乘为n（n大于1） n的阶乘就是 ：n=n*(n-1)
• C语言，递归函数2详述

  递归函数中，位于递归调用后的语句的执行顺序和各个被调用函数的顺序相反；，要注意这个自创函数的函数名中的形参，你这个n+1有类似于新的n一样。 他是从n=1开始的，首先判断1==10不成立，所以进行一次递归调用，变成num=(geitPeachNumber(1+1)+1)2 也就是说geitPeachNumber(n)的n此时变为了2，然后判断2==10不成立，在进行一次递归调用，变为num=（（(geitPeachNumber(2+1)+1)2+1）2也就是说哦geitPeachNumber(n)的n此时变为了3，括号里的n+1你始终把它当做新的n的就行了，如此类推，一直到10

递归函数相关课程

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• 2.5 递归函数 Shell 支持递归函数，递归函数也就是自己调用自己，即在函数体内部又一次调用函数自己，例如：[root@master func]# cat recursion.sh #!/bin/bashfunction myecho() { echo "$(date)" sleep 1 myecho inner}myecho[root@master func]# bash recursion.sh Sat Mar 28 13:14:38 CST 2020Sat Mar 28 13:14:39 CST 2020Sat Mar 28 13:14:40 CST 2020Sat Mar 28 13:14:41 CST 2020Sat Mar 28 13:14:42 CST 2020...如上就是一个递归函数，在函数体内部又调用了函数 myecho，在执行的时候就会陷入无限循环。
• 2. 什么是递归？ 递归（Recursion），是计算机科学与技术领域中一种常见的算法思想。在数学和计算机领域中，递归主要是指在函数的定义中使用函数自身的方法。顾名思义，递归主要包含两个意思，递和归，这个是递归思想的精华所在。递归就是有去（递去）有回（归来）。“有去” 是指递归问题可以分解成若干个规模较小、与原问题形式相同的子问题，这些子问题可以和原问题用相同的方法来求解。“有回” 是指这些问题的演化过程是一个从大到小，并且最终会有一个明确的终点，一旦达到终点，就可以从终点原路返回，解决原问题。更为直接的说法就是：递归的基本思想就是把大问题转化为相似的小问题解决。特别是在程序中的函数实现时，大问题的解决方案和小问题是一模一样的，所以就产生解决一个问题会调用函数本身的情况，这个也是递归的定义。
• 4. 递归算法的缺点 前面说到了递归问题的优点，就是使用递归后整体代码简洁明了，阅读起来让人如沐春风。但是递归方法也会才能在较大问题：递归太深，容易导致栈溢出异常。前面介绍过，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出；可能存在大量的冗余计算，算法的时间复杂度呈指数级增长，这个会在后面的递归实例中展示。
• 3. 递归穷举 我们来看 leetcode 的第 15 题：三数之和。该题的难度为中等，题目内容如下：给你一个包含 n 个整数的数组 nums，判断 nums 中是否存在三个元素 a，b，c ，使得 a + b + c = 0 ？请你找出所有满足条件且不重复的三元组。**注意：**答案中不可以包含重复的三元组。示例：给定数组 nums = [-1, 0, 1, 2, -1, -4]，满足要求的三元组集合为：[ [-1, 0, 1], [-1, -1, 2]]我们今天并不打算通过这道题的题解，因为这道题用递归算法是无法通过题解的，原因和之前一样，算法的时间复杂度高，最后会超出时间限制。另外我们去掉后面的注意部分事项，允许答案包含重复的三元组，我们使用递归算法相当于穷举出所有可能的情况，判断三元组的值是否能为 0。首先继续我们的解题三部曲：函数定义，输入和输出：def three_sum(nums, target, count): """ 输入: num: 输入的数组 target: 目标值 count: 在数组中找到几个数之和满足target 输出： []或者[[1,2,3], [-1,4,3]] 这样的满足条件的全部结果 """ res = [] # ... return res注意： 定义这样的递归函数是经过思考的，因为后续递归调用时需要依赖目标值 (target) 或元素个数 (count) 这样两个参数。返回的参数要么为空，要么是所有找到的满足条件的三元组的集合。接下来是递归方法的终止条件，首先考虑以下几个终止条件：如果输入的 nums 列表为空，那么直接返回 []；如果输入的 count 等于1，就要开始判断了，因为这个时候只需要判断 target 是否在列表中存在即可；综上，我们写出终止条件的代码：def three_sum(nums, target, count): """ 输入: num: 输入的数组 target: 目标值 count: 在数组中找到几个数之和满足target 输出： []或者[[1,2,3], [-1,4,3]] 这样的满足条件的全部结果 """ res = [] ###################### 终止条件 ###################################### if not nums: return res if count == 1 and target in nums: return [[ target ]] elif count == 1 and target not in nums: # count等于1时，如果target没有出现在剩余的nums中，说明不存在满足条件的数组元素 return res ####################################################################### # 返回值 return res接下来最重要的，就是递归的公式了，递归的方向一定要朝着减小目标函数规模进行。很明显，我们的递归应该是这样子：以 nums 的第一个元素为递归点，整个 nums 列表中和为 target 的 count 个元素的结果可以分为包含 nums[0] 和不包含 nums[0] 的结果组成，简单点说就是：如果包含 nums[0]，那么接下来的 nums[1:] 列表中我们就要找值为 target - nums[0] 的 count - 1 个元素，也即 three_sum(nums[1:], target - nums[0], count -1)，然后我们还需要在得到的元组集中的最前面位置加上 nums[0]；如果不包含 nums[0]，那么就是在 nums[1:] 列表中找值为 target 的 count 个元素，用递归函数表示就是 three_sum(nums[1:], target, count)；这样找到的结果正是 count 个元素。组合上述两个递归得到的结果，就得到了函数 three_sum(nums, target, count) 的结果，代码如下：res = []# 包含nums[0]t1 = three_sum(nums[1:], target - nums[0], count - 1)# 不包含nums[0]t2 = three_sum(nums[1:], target, count)if t1: for i in range(len(t1)): t = [nums[0]] t.extend(t1[i]) # 每个得到的结果前面加上 nums[0] res.append(t)if t2: for j in range(len(t2)): res.append(t2[j]) # 此时得到的res就是递归的最后结果综合就可以得到递归遍历所有三个元素和的情况并最终找出所有满足条件结果的三元集：def three_sum(nums, target, count): res = [] # 终止条件 if not nums: return res if count == 1 and target in nums: # 一定要这样写 return [[ target ]] elif count == 1 and target not in nums: return res # 包含nums[0] t1 = three_sum(nums[1:], target - nums[0], count - 1) # 不包含nums[0] t2 = three_sum(nums[1:], target, count) if t1: for i in range(len(t1)): # 犯了一个巨大的错误，extend() 方法的使用，它无返回，只会扩充原数组 # res.append([nums[0]].extend(t1[i])) t = [nums[0]] t.extend(t1[i]) res.append(t) if t2: for j in range(len(t2)): res.append(t2[j]) return res调用该函数的方式如下：nums = [-1, 0, 1, 2, -1, -4]# 0 为目标值，3为多少个元素和为targetres = three_sum(nums, 0, 3)这样的递归遍历思想在穷举中用的比较多，因为它以非常优雅的方式简化了穷举代码。不过这道题使用递归算法等价于穷举法，时间复杂度为 O(n3)O(n^3)O(n3)，因此显得并不高效。对于最优的解法读者可以自行思考下然后解决它。
• 4. 递归的三要素 在明确递归的定义及数学模型之后，我们需要掌握递归的三要素：递归终止条件；递归终止时候的处理方法；递归中重复的逻辑提取，缩小问题规模。
• 3. 用数学归纳法理解递归思想 很多时候，大家都在思考递归在数学上面应该如何表示了，毕竟对于数学的简单理解比起我们直接写代码起来还是要简单很多的。观察递归，我们会很容易发现递归的数学模型类似于数学归纳法，这个在高中的数列里面就已经开始应用了。数学归纳法常见的描述如下最简单和常见的数学归纳法是证明当 n 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：证明当 n= 1 时命题成立。假设 n=m 时命题成立，那么可以 推导出在 n=m+1 时命题也成立。（m 代表任意自然数）数学归纳法适用于将需要解决的原问题转换为解决他的子问题，而其中的子问题又可以变成子问题的子问题，而且这些问题都是同一个模型，可以用相同的处理逻辑归纳处理。当然有一个是例外的，就是归纳结束的那一个处理方法不能适用于其他的归纳处理项。递归同样的是将大的问题分解成小问题处理，然后会有一个递归的终止条件，满足终止条件之后开始回归。数学里面有一个很有名的斐波那契数列，我们在编程求解斐波那契数列的时候就会用到递归的思想，在后续的内部中会具体讲到。

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