Python 中的二项式随机变量

Question

我试图仅使用一行代码来解决以下问题：“假设你参加了一个有 10 个问题的多项选择题测试，每个问题有 5 个答案选择（a、b、c、d、e），那么你仅通过猜测就正确答对 4 个问题的概率是多少？”我知道答案是 0.08808 或 9% 左右。我也尝试使用下面的行来反映这个答案import numpy as np#number of trials = 10#number of answers for each question = 5#probability of answering one correctly = 1/5 or 0.2# == 1 because 1/0 will indicate correct or incorrectsum(np.random.binomial(5, 0.2, 10) == 1)/10.0.2有人可以阐明如何获得 0.08808 而不是 0.2 吗？谢谢！

Answer 1

这是获取您寻求的概率的代码：

import math

def combinations_of_n_choose_m(n, m):

    return math.factorial(n)/math.factorial(n - m)/math.factorial(m)

def probability_of_correct_trials(trials, correct, prob):

    return combinations_of_n_choose_m(trials, correct) * prob**correct * (1-prob)**(trials-correct)

print(probability_of_correct_trials(10, 4, .2))

或者在一行中：

r = math.factorial(10)/math.factorial(10 - 4)/math.factorial(4) * prob**4 * (1-prob)**(10-4)

print(r)

结果：

0.08808038400000005

0.08828

Answer 2

近似该概率的蒙特卡罗方法是让 Python 生成大量考试（例如一百万个），其中每个考试有 n=10 个问题，猜出正确答案的机会为 p=1/5。然后你查看模拟考试结果，找出在模拟考试总数中恰好得到 4 个正确答案的分数。

import numpy.random as rnd 

n = 10; p = 1/5

numTrials = 10**6

numTimesFourCorrect = 0

for trial in range(numTrials):

    numAnswersCorrect = rnd.binomial(n, p)

    if numAnswersCorrect == 4:

        numTimesFourCorrect += 1

print(numTimesFourCorrect / numTrials)

一次运行在我的机器上给出了 0.088242（每次都不同），非常接近您的期望。原始代码的主要问题是，它np.random.binomial(n, p, numTrials)会给你的numTrials结果是 0 到 n 之间的数字；所以类似于np.mean(rnd.binomial(n, p, numTrials) == 4)矢量化的方法来做到这一点。

Answer 3

我想补充一点，可以通过sympy如下方式获得精确的解析解：

from sympy import stats, Eq

import fractions

# 10 questions with probability of success given by 1/5

X = stats.Binomial('X', 10, fractions.Fraction(1, 5))

P = stats.Probability(Eq(X, 4)).evaluate_integral()

# 172032/1953125 (exact answer)

approx = 172032/1953125

# 0.088080384