为什么这个随机生成的球形点云分布不均匀？

Question

我正在尝试模拟从点源发出的辐射。为此，在给定光源坐标和所需的发射光线长度的情况下，我随机生成球坐标中的方向向量，将其转换为笛卡尔坐标，并返回正确的终点。但是，当我运行它并在 Blender 中可视化生成的点云（由所有随机生成的端点组成）时，我发现它在球体的“极点”处的密度更高。我希望这些点沿球体均匀分布。我怎样才能做到这一点？随机生成函数：def getRadiationEmissionLineSeg(p, t):    if(p.size == 4):        #polar angle spans [0, pi] from +Z axis to -Z axis        #azimuthal angle spans [0, 2*pi] orthogonal to the zenith (in the XY plane)        theta = math.pi * random.random()        phi = 2 * math.pi * random.random()        #use r = 1 to get a unit direction vector        v = sphericalToCartesian(1, theta, phi)        #parametric vector form: vec = p + tv        #p = point that lies on vector (origin point in case of a ray)        #t = parameter (-inf, inf) for lines, [0, inf) for rays        #v = direction vector (must be normalized)        return p + t * v球面坐标->笛卡尔转换函数：def sphericalToCartesian(r, theta, phi):    x = r * math.sin(theta) * math.cos(phi)    y = r * math.sin(theta) * math.sin(phi)    z = r * math.cos(theta)    return npy.array([x, y, z, 0])

Answer 1

当你通过球面坐标变换点并且角度 theta 接近 pi 时，作为 [0,2pi]x{theta} 图像的圆变得越来越小。由于 theta 是均匀分布的，所以靠近极点的点会更多。它可以在网格图像上看到。

如果你想在球体上生成均匀分布的点，你可以利用这样一个事实：如果你用两个平行平面切割一个球体，平面之间的球面条带的面积仅取决于平面之间的距离。因此，您可以使用两个均匀分布的随机变量在球体上获得均匀分布：

• -r 和 r 之间的 z 坐标，

• 对应于经度的 [0, 2pi) 之间的角度 theta。

然后你可以很容易地计算出 x 和 y 坐标。

示例代码：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

r = 1

n = 1000

z = np.random.random(n)*2*r - r

phi = np.random.random(n)*2*np.pi

x = np.sqrt(1 - z**2)*np.cos(phi)

y = np.sqrt(1 - z**2)*np.sin(phi)

fig = plt.figure(figsize=(8, 8))

ax = plt.axes(projection='3d')

ax.scatter(x, y, z)

plt.show()

结果n=100,250,1000：