超高斯拟合

Question

我必须研究激光束轮廓。为此，我需要为我的数据找到一个超高斯曲线拟合。超高斯方程：I * exp(- 2 * ((x - x0) /sigma)^P)其中考虑了平顶激光束曲线的特性。P我开始用Python对我的曲线进行简单的高斯拟合。拟合返回一条高斯曲线，其中 和 的值被优化。（我用了函数curve_fit）高斯曲线方程：Ix0sigmaI * exp(-(x - x0)^2 / (2 * sigma^2))现在，我想向前迈出一步。我想做超高斯曲线拟合，因为我需要考虑光束的平顶特性。因此，我需要一个同时优化 P 参数的拟合。有人知道如何用Python做一个超级高斯曲线拟合吗？我知道有一种方法可以用wolfram mathematica做一个超级高斯拟合，这不是开源的。我没有。因此，我还想知道是否有人知道一个开源软件，因此可以进行超级高斯曲线拟合或执行wolfram mathematica。

Answer 1

好吧，您需要编写一个函数来计算参数化的超高斯函数，并使用它来对数据进行建模，例如.作为LMFIT（https://lmfit.github.io/lmfit-py/）的主要作者，它提供了一个高级接口来拟合和曲线拟合，我建议尝试该库。使用这种方法，超高斯和用于拟合数据的模型函数可能如下所示：scipy.optimize.curve_fit

import numpy as np  

from lmfit import Model   

def super_gaussian(x, amplitude=1.0, center=0.0, sigma=1.0, expon=2.0):

    """super-Gaussian distribution

    super_gaussian(x, amplitude, center, sigma, expon) =

        (amplitude/(sqrt(2*pi)*sigma)) * exp(-abs(x-center)**expon / (2*sigma**expon))

    """

    sigma = max(1.e-15, sigma)

    return ((amplitude/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma))

            * np.exp(-abs(x-center)**expon / 2*sigma**expon))

# generate some test data

x = np.linspace(0, 10, 101)

y = super_gaussian(x, amplitude=7.1, center=4.5, sigma=2.5, expon=1.5)

y += np.random.normal(size=len(x), scale=0.015)

# make Model from the super_gaussian function

model = Model(super_gaussian)

# build a set of Parameters to be adjusted in fit, named from the arguments 

# of the model function (super_gaussian), and providing initial values

params = model.make_params(amplitude=1, center=5, sigma=2., expon=2)

# you can place min/max bounds on parameters

params['amplitude'].min = 0

params['sigma'].min = 0

params['expon'].min = 0

params['expon'].max = 100

# note: if you wanted to make this strictly Gaussian, you could set 

# expon=2  and prevent it from varying in the fit:

### params['expon'].value = 2.0

### params['expon'].vary = False

# now do the fit

result = model.fit(y, params, x=x)

# print out the fit statistics, best-fit parameter values and uncertainties

print(result.fit_report())

# plot results

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, y, label='data')

plt.plot(x, result.best_fit, label='fit')

plt.legend()

plt.show()

这将打印一个报告，如

[[Model]]

    Model(super_gaussian)

[[Fit Statistics]]

    # fitting method   = leastsq

    # function evals   = 53

    # data points      = 101

    # variables        = 4

    chi-square         = 0.02110713

    reduced chi-square = 2.1760e-04

    Akaike info crit   = -847.799755

    Bayesian info crit = -837.339273

[[Variables]]

    amplitude:  6.96892162 +/- 0.09939812 (1.43%) (init = 1)

    center:     4.50181661 +/- 0.00217719 (0.05%) (init = 5)

    sigma:      2.48339218 +/- 0.02134446 (0.86%) (init = 2)

    expon:      3.25148164 +/- 0.08379431 (2.58%) (init = 2)

[[Correlations]] (unreported correlations are < 0.100)

    C(amplitude, sigma) =  0.939

    C(sigma, expon)     = -0.774

    C(amplitude, expon) = -0.745

并生成这样的情节

Answer 2

纽维尔的答案非常适合我。

但要小心！在函数定义中，括号在指数的商中是模糊的super_gaussian

def super_gaussian(x, amplitude=1.0, center=0.0, sigma=1.0, expon=2.0):

    ...

    return ((amplitude/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma))

            * np.exp(-abs(x-center)**expon / 2*sigma**expon))

应替换为

def super_gaussian(x, amplitude=1.0, center=0.0, sigma=1.0, expon=2.0):

    ...

    return (amplitude/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma))

           * np.exp(-abs(x-center)**expon / (2*sigma**expon))

然后是超高斯函数的FWHM，它写道：

FWHM = 2.*sigma*(2.*np.log(2.))**(1/expon)

经过精心计算，与情节非常一致。

我很抱歉写这篇文章作为答案。但是我的声誉得分很低，无法为M Newville帖子添加评论...

Answer 3

将 y（x）=a *exp（-b *（x-c）**p） 拟合到参数 a，b，c，p 的数据。

下面的数值演算示例显示了一种非迭代方法，该方法不需要对参数进行初始猜测。

这在应用一般原理中解释在论文中：https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regressions-et-equations-integrales

在本文的当前版本中，超高斯的情况没有得到明确的处理。没有必要阅读论文，因为下面的屏幕副本显示了整个细节的微积分。

请注意，数值结果 a，b，c，p 可用作回归的经典迭代测量的初始值。

注意：

考虑的线性方程是：

A，B，C，D是由于线性回归而要计算的参数。积分的数值S（k）通过从给定数据进行数值积分直接计算（如上例所示）。

Answer 4

这是超高斯的函数

    def super_gaussian(x, amp, x0, sigma):

        rank = 2

        return amp * ((np.exp(-(2 ** (2 * rank - 1)) * np.log(2) * (((x - x0) ** 2) / ((sigma) ** 2)) ** (rank))) ** 2)

然后你需要用 scipy 优化曲线拟合来调用它，如下所示：

from scipy import optimize

opt, _ = optimize.curve_fit(super_gaussian, x, y)

vals = super_gaussian(x, *opt)

“vals”是你需要绘制的，那就是拟合的超高斯函数。

这是您在 rank=1 时得到的：

排名 = 2：

排名 = 3：