如何添加“n”个奇数？

Question

我正在尝试编写一个程序来计算前 n 个正奇数的总和。我无法弄清楚如何将 n 合并到求和中。我已经有一个 do/while 循环，以确保在分配 n 值时获得正值。我知道我必须使用 for 循环，但我不确定我会如何做到这一点。Scanner input = new Scanner(System.in); // open input stream    String cleanUpStr;                      // clean kbd buffer    int n;                                  // number    int sum;                                // sum of numbers    int cntr;                               // counter for loop    cleanUpStr = "nothing yet";    n = 0;    sum = 0;    cntr = 0;    //prompt user for the value of n    // use a loop to ensure a positive output    do    {        System.out.println("Enter the value of n");        n = input.nextInt();        cleanUpStr = input.nextLine();        // print error if n is invalid        if (n < 0)        {            System.out.println("Invalid n value of " + n + ", try again.");        } // end if    }while(n < 0);    for(cntr = 0; cntr < n; ++cntr)    {    } // end for} // end main例如：如果 n = 5，那么这应该计算 1 + 3 + 5 + 7 + 9。

Answer 1

这个问题的好处是您不需要编写循环！前 n 个正奇数的和是 n 的平方（在这篇文章中写成 n^2）。这就是用 n 表示总和的方式。所以以下就足够了：

// Calculate the sum of first n positive odd integers by using the n^2 formula.

public static int sumOddIntegers(int n) {

    return n*n;

}

如果您打算使用循环，则可以通过观察可以使用公式 (2i-1) 计算第 i 个正奇数整数来执行以下操作：

// Calculate the sum of first n positive odd integers by adding each number iteratively in a loop.

public static int sumOddIntegers(int n) {

    int oddSum = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        oddSum += (2*i - 1);

    }

    return oddSum;

}

为了可视化这一点，请考虑以下示例：

n = 1 List: {1} S(n) = 1 = 1 = n^2

n = 2 List: {1, 3} S(n) = 1 + 3 = 4 = n^2

n = 3 List: {1, 3, 5} S(n) = 1 + 3 + 5 = 9 = n^2

n = 4 List: {1, 3, 5, 7} S(n) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = n^2

n = 5 List: {1, 3, 5, 7, 9} S(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = n^2

And so on...

这是一个归纳证明，表明前 n 个正奇数的和是 n^2。我是 Stack Overflow 的新手，所以我希望我的格式清晰易读。如果可以改进，请随时提出修改建议 :) Stack Overflow 似乎不支持 LaTeX 样式的指数和下标格式，所以我尽力了。

证明

P(n)：前n个正奇数之和为n^2。

基本情况

P(1): n = 1

n = 1 的情况是微不足道的。前 n 个正奇数的列表就是 {1}。因此前 n 个正奇数之和为 1。由于 1 = n = n^2，谓词 P(1) 成立。

归纳假设

假设 P(k) 对任意正整数 k > 0 成立。

感应步骤

给定 P(k)，我们将证明 P(k+1) 也成立。换句话说，如果前k个正奇数之和为k^2，则前(k+1)个正奇数之和为(k+1)^2。

作为这个证明的一部分，假设以下引理。

引理1：第n个正奇数可以表示为2n-1。

如果 P(k) 成立，则前 k 个正奇数 {a_1, ... a_k} 的和为 k^2，其中元素 a_k 表示为 2k-1（由引理 1）。因此，将第 (k+1) 个正奇数 a_(k+1) 添加到前 k 个正奇数的列表中将产生前 (k+1) 个正奇数的列表，如下所示： { a_1, ... a_k, a_(k+1)}。因此，这个前 (k+1) 个正奇数的列表之和将等于前 k 个正奇数的列表之和加上 a_(k+1) 的值，即 (k+1) )st 正奇数整数。根据引理 1，第 (k+1) 个正奇数表示为 2(k+1)-1 = 2k+1。

令 S(k) = 前 k 个正奇数之和。因此，S(k) = k^2。上述陈述暗示

S(k+1) = S(k) + a_(k+1), adding the (k+1)st positive odd integer

S(k+1) = S(k) + (2(k+1)-1), by Lemma 1 

S(k+1) = S(k) + (2k+1)  

S(k+1) = k^2 + (2k+1), by inductive hypothesis

S(k+1) = k^2 + 2k + 1

S(k+1) = (k+1)^2, by factoring

因此，我们证明了如果 S(k) = k^2，则 S(k+1) = (k+1)^2。这表明 P(k) -> P(k+1)。

通过归纳，我们证明了对于任何正整数 n > 0，P(n) 成立。因此，前 n 个正奇数的和为 n^2。QED。

引理 1 的证明：

这是一个归纳证明。

P(n)：第n个正奇数，a_n，可以表示为2n-1。

基本情况：P(1)：1 是第一个正奇数（情况 n = 1）。

1 = 2(1)-1 = 1. 

Therefore, a_1 = 1 = 2n-1. Correct.

归纳假设：假设 P(k) 成立。

归纳步骤：如果 P(k) 成立，则 P(k+1) 成立。

如果P(k)成立，那么第k个正奇数可以表示为2k-1。通过加法，下一个正奇数（第 (k+1) 个正奇数）将是 (2k-1) + 2。

= (2k-1) + 2

= 2k-1 + 2

= 2k+2 - 1

= 2(k+1) -1

我们已经证明了 P(k) -> P(k+1)。因此，通过归纳，P(n) 适用于所有 n > 0 的整数。QED。

祝你好运！希望这有帮助:)

Answer 2

Stream很好，但是如果您是初学者，那么普通的旧for循环是您最好的朋友。

public static int sumForOddNumbers(int total) {

    int sum = 0;

    for(int i = 0, odd = 1; i < total; i++, odd += 2) {

        sum += odd;

    }

    return sum;

}

Answer 3

Java 流 API 提出了非常明确的解决方案：

IntStream.iterate(1, i -> i + 2)
     .limit(n)
     .sum();

IntStream通过链接了解更多信息

Answer 4

虽然如果您关心函数式编程，流将是解决此问题的好方法，但仅学习 Java，我会建议以下内容。

int oddValue = 1; 

int answer = 0;  

for(cntr = 0; cntr < n; ++cntr)

    {

        //adds oddvalue to your answer

        answer += oddValue;

        //adds two to odd value (next odd)

        oddValue+=2;

    }