使用记忆化/动态编程的 Java 组合

Question

我正在制作一个程序，给出给定两个数字的可能组合数量，比如 N 选择 K。我有一个递归解决方案，如下所示：public static int combinations(int group, int members) {    if (members == 1) {        return group;    }    else if (members == group) {        return 1;    }    else {        return(combinations(group - 1, members - 1) +                 combinations(group - 1, members));    }}这个可行，但我需要使用记忆来提高时间复杂度并加快处理较大数字的速度，但我不知道如何去做。我该怎么做呢？

Answer 1

n choose k = ( n - 1 choose k - 1)  + ( n-1 choose k ) 按照自下而上的动态规划方法的公式 是：

dp[n][k] = dp[n-1][k-1] + dp[n-1][k] if n > k 

else if n == k

dp[n][k] = 1

else

dp[n][k] = 0

从n = 1和开始k = 1

dp[1][1] = 1; dp[1][0] = 1; 

然后填充一个二维数组直到 dp[n][k]

也可以像您的情况一样通过记忆来完成。您的方法可以更改为：

int[][] dp = new int[group][members];

public static int combinations(int group, int members, int[][] dp ) {

    if (members == 1) {

        return group;

    } else if (members == group) {

        return 1;

    }

    if ( dp[group][members] != 0 ) {

       return dp[group][members];

    }

    int first = 0, second = 0;

    if ( members <= group - 1) {

      first = combinations( group - 1, members - 1, dp );

      second = combinations( group - 1, members );

    } else if ( members - 1 <= group - 1 ) {

      first = combinations( group - 1, members - 1, dp );

    }

    dp[group][members] = first + second;

    return dp[group][members];

}

Answer 2

一种方法是进行缓存，这伴随着内存使用的巨大代价。

public static int combinations(int group, int members) {

    if (members > group - members) {

        members = group - members; // 21 choose 17 is same as 21 choose 4

    }

    final int[][] cache = new int[group][members];

    return combinations(group, members, cache);

}

private static int combinations(int group, int members, int[][] cache) {

    if (cache[group - 1][members - 1] > 0) {

        return cache[group - 1][members - 1];

    }

    else if (members == 1) {

        cache[group - 1][members - 1] = group;

        return group;

    }

    else if (members == group) {

        cache[group - 1][members - 1] = 1;

        return 1;

    }

    else {

        return (combinations(group - 1, members - 1, cache) + combinations(group - 1, members, cache));

    }

}

我做了一些快速测试（非专业基准），发现原来的方法需要缓存方法的一半时间。看起来所有这些对阵列缓存的读/写都大大减慢了速度。

另一种方法是改变整个公式。

public static int combinations(int group, int members) {

    if (members > group - members) {

        members = group - members;

    }

    int answer = 1;

    for (int i = group; i > group - members; i--) {

        answer *= i;

    }

    for (int i = 1; i <= members; i++) {

        answer /= i;

    }

    return answer;

}

再次，我用原始方法测试了新方法（我让它们BigInteger用于测试），新方法非常快（原始方法为 26 秒，后者为 0.00 秒，35 选择 15）。

补充一点，我认为使用递归调用的时间复杂度为O((group)(log members))，而使用新公式的时间复杂度为O(members)。