给定原始和复杂一维数据的核估计

Question

在给定原始数据和卷积数据的情况下，我无法弄清楚如何找到用于卷积的内核。例如，如果我有 1D 数据 X 并且我使用一些内核 phi 应用卷积，我将得到像这样的输出 convoluted_x。import numpy as npX = np.asarray([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10])phi = np.asarray([-1,0,1])X_conv = np.convolve(X, phi, mode='same')print(X_conv)这里，X_conv 是 [-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 9]。我的问题是如果只给出 X 和 X_conv 有没有办法找到用于卷积的内核 phi ？

Answer 1

如果我们用 表示输入向量，用 表示X输出（卷积）向量Y，那么每个Y(i)都由 的某些元素的线性组合组成X：

Y(i) = Sum{j} X(j) * kernel(kernelIndex(i, j))

kernelIndex 是为给定卷积提供访问内核的特定位置的函数，通常取决于实现（即，如何索引输入/输出）。

对于我们而言，Y(i)和X(j)是已知的，kernel(…)都是未知数。对于每个输出Y(i)，我们因此可以陈述一个线性方程（如上所述）`。我们可以收集所有这些方程并求解未知的内核条目。这是在 Matlab 中的示例实现：

function [kernel] = solveConv(source, target, kernelSize)

    sizeOfSource = size(source);

    sizeOfSource = sizeOfSource(2);

    % linear system A x = b

    A = zeros(sizeOfSource, kernelSize);

    b = zeros(sizeOfSource, 1);

    for i = 1 : sizeOfSource

        for j = 1 : kernelSize

            sourceIndex = i + (kernelSize - j) - floor(kernelSize / 2);

            if sourceIndex >= 1 && sourceIndex <= sizeOfSource

                A(i, j) = source(sourceIndex);

            end

        end

        b(i, 1) = target(i);

    end

    % solve the linear system

    kernel = A \ b;

end

你可以使用这个函数来获取你的内核：

>> solveConv([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], [-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 9],3)

ans =

   -1.0000

   -0.0000

    1.0000

或者，如果您不确定内核大小，请尝试更大的内核：

>> solveConv([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], [-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 9],5)

ans =

   -0.0000

   -1.0000

   -0.0000

    1.0000

   -0.0000