整数除法总是等于常规除法的下限吗？

Question

对于大商，整数除法 ( //) 似乎不一定等于常规除法 ( math.floor(a/b))的下限。根据 Python 文档（https://docs.python.org/3/reference/expressions.html - 6.7），整数的地板除法产生一个整数；结果是将“floor”函数应用于结果的数学除法。然而，math.floor(648705536316023400 / 7) = 92672219473717632648705536316023400 // 7 = 92672219473717628'{0:.10f}'.format(648705536316023400 / 7) 产生 '92672219473717632.0000000000'，但小数部分的最后两位数字应该是 28 而不是 32。

Answer 1

您的测试用例中的商不相等的原因是，在这种math.floor(a/b)情况下，结果是使用浮点算法（IEEE-754 64 位）计算的，这意味着存在最大精度。您拥有的商大于 2 ⁵³限制，高于该限制的浮点不再精确到单位。

然而，对于整数除法，Python 使用其无限的整数范围，因此结果是正确的。

另见PEP 238 中的“真除法语义”：

请注意，对于 int 和 long 参数，真正的除法可能会丢失信息；这是真正除法的本质（只要语言中没有有理数）。有意识地使用 long 的算法应该考虑使用//，因为真正的 long 划分保留不超过 53 位的精度（在大多数平台上）。

Answer 2

您可能正在处理太大而无法准确表达为浮点数的整数值。您的数字明显大于 2^53，这是相邻浮点双精度之间的差距开始大于 1 的地方。因此，在进行浮点除法时会损失一些精度。

另一方面，整数除法是精确计算的。

Answer 3

你的问题是，尽管“/”有时被称为“真正的除法运算符”并且它的方法名称是__truediv__，但它对整数的行为不是“真正的数学除法”。相反，它产生的浮点结果不可避免地具有有限的精度。

对于足够大的数字，即使是数字的整数部分也会出现浮点舍入误差。当 648705536316023400 转换为 Python 浮点数（IEEE double）时，它会四舍五入为 648705536316023424 1。

我似乎无法找到有关当前 Python 中内置类型运算符的确切行为的权威文档。引入该功能的原始 PEP 指出“/”相当于将整数转换为浮点数，然后执行浮点数除法。然而，在 Python 3.5 中的快速测试表明情况并非如此。如果是，那么下面的代码将不会产生任何输出。

for i in range(648705536316023400,648705536316123400):

    if math.floor(i/7) != math.floor(float(i)/7):

        print(i)

但至少对我来说它确实产生了输出。

相反，在我看来，Python 正在对所显示的数字进行除法，并将结果四舍五入以适合浮点数。以该程序输出为例。

648705536316123383 // 7                   == 92672219473731911

math.floor(648705536316123383 / 7)        == 92672219473731904

math.floor(float(648705536316123383) / 7) == 92672219473731920

int(float(92672219473731911))             == 92672219473731904

Python 标准库确实提供了 Fraction 类型，并且除以 int 的 Fraction 的除法运算符确实执行“真正的数学除法”。

math.floor(Fraction(648705536316023400) / 7) == 92672219473717628

math.floor(Fraction(648705536316123383) / 7) == 92672219473731911

但是，您应该意识到使用 Fraction 类型可能带来的严重性能和内存影响。请记住，分数可以增加存储需求而不增加数量。

为了进一步测试我的“一个舍入对两个”的理论，我使用以下代码进行了测试。

#!/usr/bin/python3

from fractions import Fraction

edt = 0

eft = 0

base = 1000000000010000000000

top = base + 1000000

for i in range(base,top):

    ex = (Fraction(i)/7)

    di = (i/7)

    fl = (float(i)/7)

    ed = abs(ex-Fraction(di))

    ef = abs(ex-Fraction(fl))

    edt += ed

    eft += ef

print(edt/10000000000)

print(eft/10000000000)

并且直接执行除法的平均误差幅度比首先转换为浮点数小得多，支持一个舍入对两个舍入的理论。

1请注意，直接打印浮点数不会显示其确切值，而是显示将舍入到该值的最短十进制数（允许从浮点数到字符串再到浮点数的无损往返转换）。