在 Python 中使用 QR 分解解决超定系统

Question

我试图用 QR 分解和 linalg.solve 解决一个超定系统，但我得到的错误是LinAlgError: 数组的最后 2 个维度必须是 square。当 R 数组不是正方形时会发生这种情况，对吗？代码看起来像这样import numpy as npimport math as maA = np.random.rand(2,3)b = np.random.rand(2,1) Q, R = np.linalg.qr(A)Qb = np.matmul(Q.T,b)x_qr = np.linalg.solve(R,Qb)有没有办法以更有效的方式为任意 A 维度编写此代码？如果没有，我如何使这个代码片段工作？

Answer 1

您需要使用标志 mode='reduced' 调用 QR。默认的 QR 矩阵返回为 M x M 和 M x N，因此如果 M 大于 N，那么您的矩阵 R 将是非方阵。如果您选择缩减（经济）模式，您的矩阵将为 M x N 和 N x N，在这种情况下，求解程序将正常工作。

但是，对于超定系统，您也有反向方程/未知数。你的代码片段应该是

import numpy as np 

A = np.random.rand(3,2)

b = np.random.rand(3,1) 

Q, R = np.linalg.qr(A, mode='reduced')

#print(Q.shape, R.shape)

Qb = np.matmul(Q.T,b)

x_qr = np.linalg.solve(R,Qb)

正如其他贡献者所指出的，您也可以直接调用 lstsq，但有时直接使用 Q 和 R 会更方便（例如，如果您还计划计算投影矩阵）。

Answer 2

原因确实是矩阵R不是方阵，可能是因为系统是超定的。您可以尝试np.linalg.lstsq找到最小化平方误差的解决方案（如果存在，应该会产生精确的解决方案）。

import numpy as np

A = np.random.rand(2, 3)

b = np.random.rand(2, 1) 

x_qr = np.linalg.lstsq(A, b)[0]

Answer 3

如文档所示numpy.linalg.solve：

计算明确确定的，即满秩线性矩阵方程 ax = b 的“精确”解 x。

你的方程组是欠定的而不是超定的。请注意，其中有 3 个变量和 2 个方程，因此方程比未知数少。

还要注意它是如何提到 in numpy.linalg.solve(a,b),a必须是一个MxM矩阵。这背后的原因是求解方程组Ax=b涉及计算 的逆A，并且只有方阵是可逆的。

在这些情况下，常用的方法是采用 Moore-Penrose 伪逆，这将计算系统的最佳拟合（最小二乘法）解。因此，与其尝试解决确切的解决方案，不如使用numpy.linalg.lstsq：

x_qr = np.linalg.lstsq(R,Qb)