找到三个整数，使它们的余弦值之和变为最大值

Question

有三个整数x，y并且z（每个 >= 1）和一个给定的上限整数n< 10^6。还有，n = x + y + z和output = cos(x) + cos(y) + cos(z)。练习是最大化output。我为此编写了一个简单的脚本，但时间复杂度为 O(n^3)。有什么办法可以简化这个吗？from math import cosn = 50x = 1y = 1z = 1total = cos(x) + cos(y) + cos(z)for x in xrange(n):    for y in xrange(n):        for z in xrange(n):            if x + y + z == n:                temp = cos(x) + cos(y) + cos(z)                if temp > total: total = tempprint round(total, 9) 

Answer 1

理想情况下，您只想计算每个可能的组合一次。忽略 的几何属性cos，并将其视为简单的从数字到数字的映射（例如，将其用作随机属性，正如@Jean 在他的第二条评论中提到的那样）。

首先，您必须意识到在选择了 2 个数字后，给出了第三个。您可以选择“智能”以避免多余的选择：

from math import cos

import time

import numpy as np

from numba import jit

def calc(n):

    x = 1

    y = 1

    z = 1

    total = cos(x) + cos(y) + cos(z)

    for x in range(n, int((n/3 - 1)),-1): #I only want to pick X from n-2 to  n/3 -1 , after that we will repeat.

        cosx = cos(x)

        for y in range(max(int(((n-x)/2))-1,1),min(int(n-x),int(n/3))): #I would only pick number that will not be choosen for the z

                z = n-x-y #Infer the z, taking the rest in account

                temp = cosx + cos(y) + cos(z)

                if temp > total: total = temp

    return total

tic = time.clock()

total = calc(10000)

print(time.clock()-tic)

print (total)

将采取1.3467099999999999（在我的机器上）。

正如@fuglede 提到的，值得使用 numba 进行进一步优化。

编辑： 保存所有先前计算的 cos 值实际上比重新计算它们更昂贵，当您访问 np 数组时，您不仅仅是访问内存中的一个点，而是使用 ndarray 函数。使用内置的pythoncos实际上更快：

import numpy as np

from math import cos

import time

import timeit

cos_arr = np.cos(np.arange(10000000))

tic = time.time()

def calc1():

    total = 0

    for j in range(100):

        for i in range(10000000):

            total += cos_arr[i]

def calc2():

    total = 0

    for j in range(100):

        for i in range(10000000):

            total += cos(i)

time1 = timeit.Timer(calc1).timeit(number=1)

time2 = timeit.Timer(calc2).timeit(number=1)

print(time1)

print(time2)

有输出：

127.9849290860002

108.21062094399986

如果我在计时器内移动数组创建，它会更慢。

Answer 2

正如 Jean-François Fabre 在评论中指出的那样，您可以应用很多技巧来提高性能，但首先

• 注意到 的值a和b确定 的值c，

• 注意到三个变量中的至少一个 WLOGa小于或等于N/3，

• 使用b和之间的剩余对称性c来限制和ba(N - a)//2 + 1

• 预先计算 cos 的所有相关值，并尽量避免快速连续查找相同的值，

• 当给定的值cos(a)永远不会导致新的最大值时，修剪外循环以提前停止，

• 使用Numba对代码进行 JIT 编译并免费获得一些性能（大约是 400 倍N = 500），

然后否则蛮力解决方案相对较快地终止N = 1000000：

import numpy as np

from numba import jit

@jit

def maximize(N):

    cos = np.cos(np.arange(N))

    m = -3

    for a in range(1, N//3 + 1):

        cosa = cos[a]

        if m - 2 > cosa:

            continue

        for b in range(a, (N - a)//2 + 1):

            c = N - a - b

            res = cosa + cos[b] + cos[c]

            if res > m:

                m = res

                bestabc = (a, b, c)

    return m, bestabc

maximize(1000000)  # (2.9787165245899025, (159775, 263768, 576457))

值得注意的是，上面利用的对称性仅在人们愿意忽略这样一个事实的情况下成立：数值问题导致浮点数的加法通常不是可交换的；这cos(a) + cos(b)不必与cos(b) + cos(a). 不过，您可能不会为此担心。

Answer 3

绝对不需要计算 3 xn^3 余弦值。

我们可以假设 x ≤ y ≤ z。因此，x 可以是 1 到 n/3 范围内的任何整数。y 可以是 x 到 (n - x) / 2 范围内的任何整数。 z 必须等于 n - x - y。仅此一项就将您尝试的三元组 (x, y, z) 的数量从 n^3 减少到大约 n^2 / 6。

接下来假设您找到了三个数字，总和为 2.749。并且您尝试使用余弦 (x) = 0.748 的 x。任何涉及此 x 的总数都不能超过 2.748，因此您可以完全拒绝 x。一旦找到一个好的总和，您就可以拒绝 x 的多个值。

为了使这更有效，您将值 x 从 cosine(x) 的最高值到最低值进行排序，因为这使您更有可能找到允许您删除更多值的高总数。

并且计算 cos(x) 很慢，因此您将值存储到表中。

所以：

Set c[i] = cos (i) for 1 ≤ i ≤ n. 

Set x[i] = integers 1 to n/3, sorted in descending order by value of c[i]. 

Set (bestx, besty, bestz) = (1, 1, n-2) and total = c[bestx] + c [besty] + c [bestz].

for x = elements of array x where c[x] + 2 ≥ bestTotal

    for y = x to (n-x)/2

        z = n - x - y

        total = c[x] + c[]y] + c[z]

        if total > bestTotal

            (bestx, besty, bestz) = (x, y, z)

            bestTotal = total

你可以通过一些数学来改进这一点。如果 y + z 的总和是常数，就像这里 y + z = n - x 一样，cos(y) + cos (z) 的总和是有限的。设 P 为最接近 (n - x) / 2pi 的整数，令 d = (n - x) - P * 2pi，则 cos (y) + cos (z) 的最大可能和为 2 * cos (d /2）。

所以对于每个 x，1 ≤ x ≤ n/3，我们计算这个值 d 和 cos (x) + 2 * cos (d/2)，将这些值存储为某些 x 可以达到的最大总数，对 x 排序以便这些值按降序排列，并忽略可实现的总数小于目前最佳总数的那些 x。

如果 n 真的很大（比如十亿），那么你可以使用 Euclid 算法快速找到所有接近 2k*pi + d 的整数 y，但这会有点复杂。

for x in 1 to n/3

    let s = n - x

    let P = s / 2pi, rounded to the nearest integer

    let d = (s - P * 2pi) / 2

    let maxSum [x] = cos(x) + 2*cos(d)

Set x[i] = integers 1 to n/3, sorted in descending order by value of maxSum[i]. 

Set (bestx, besty, bestz) = (1, 1, n-2)

Set bestTotal = c[bestx] + c [besty] + c [bestz].

for x = elements of array x where maxSum[x] ≥ bestTotal

    for y = x to (n-x)/2

        z = n - x - y

        total = c[x] + c[]y] + c[z]

        if total > bestTotal

            (bestx, besty, bestz) = (x, y, z)

            bestTotal = total

附注。我实际上尝试了一些 N 大约 1 亿的值。事实证明，我可以对数组进行排序以首先尝试 x 的最有希望的值，这需要很长时间，但通常 x 的第一个值是唯一尝试过的值。或者我可以使用 x = 1, 2, 3 等，这意味着将尝试 x 的几十个值，这比排序更快。