如何计算大数模数？

Question

如何在不使用计算器的情况下计算5 ^ 55模数221的模数？我想密码学中的数论有一些简单的原理来计算这些东西。

Answer 1

好的，所以你要计算a^b mod m。首先，我们将采取一种天真的方法，然后看看我们如何改进它。

首先，减少a mod m。这意味着，找到一个数字，a1以便0 <= a1 < m和a = a1 mod m。然后在一个循环中重复乘以a1并再次减少mod m。因此，在伪代码中：

a1 = a reduced mod m

p = 1

for(int i = 1; i <= b; i++) {

    p *= a1

    p = p reduced mod m

}

通过这样做，我们避免大于的数字m^2。这是关键。我们避免数字大于的原因m^2是因为在每一步0 <= p < m和0 <= a1 < m。

举个例子，让我们来计算吧5^55 mod 221。首先，5已经减少了mod 221。

1 * 5 = 5 mod 221

5 * 5 = 25 mod 221

25 * 5 = 125 mod 221

125 * 5 = 183 mod 221

183 * 5 = 31 mod 221

31 * 5 = 155 mod 221

155 * 5 = 112 mod 221

112 * 5 = 118 mod 221

118 * 5 = 148 mod 221

148 * 5 = 77 mod 221

77 * 5 = 164 mod 221

164 * 5 = 157 mod 221

157 * 5 = 122 mod 221

122 * 5 = 168 mod 221

168 * 5 = 177 mod 221

177 * 5 = 1 mod 221

1 * 5 = 5 mod 221

5 * 5 = 25 mod 221

25 * 5 = 125 mod 221

125 * 5 = 183 mod 221

183 * 5 = 31 mod 221

31 * 5 = 155 mod 221

155 * 5 = 112 mod 221

112 * 5 = 118 mod 221

118 * 5 = 148 mod 221

148 * 5 = 77 mod 221

77 * 5 = 164 mod 221

164 * 5 = 157 mod 221

157 * 5 = 122 mod 221

122 * 5 = 168 mod 221

168 * 5 = 177 mod 221

177 * 5 = 1 mod 221

1 * 5 = 5 mod 221

5 * 5 = 25 mod 221

25 * 5 = 125 mod 221

125 * 5 = 183 mod 221

183 * 5 = 31 mod 221

31 * 5 = 155 mod 221

155 * 5 = 112 mod 221

112 * 5 = 118 mod 221

118 * 5 = 148 mod 221

148 * 5 = 77 mod 221

77 * 5 = 164 mod 221

164 * 5 = 157 mod 221

157 * 5 = 122 mod 221

122 * 5 = 168 mod 221

168 * 5 = 177 mod 221

177 * 5 = 1 mod 221

1 * 5 = 5 mod 221

5 * 5 = 25 mod 221

25 * 5 = 125 mod 221

125 * 5 = 183 mod 221

183 * 5 = 31 mod 221

31 * 5 = 155 mod 221

155 * 5 = 112 mod 221

因此，5^55 = 112 mod 221。

现在，我们可以通过使用取幂进行平方来改善这一点; 这是着名的技巧，其中我们将求幂减少到只需要log b乘法而不是b。请注意，使用上面描述的算法，通过平方改进进行求幂，最终得到了从右到左的二进制方法。

a1 = a reduced mod m

p = 1

while (b > 0) {

     if (b is odd) {

         p *= a1

         p = p reduced mod m

     }

     b /= 2

     a1 = (a1 * a1) reduced mod m

}

因此，因为55 = 110111二进制

1 * (5^1  mod 221) = 5 mod 221

5 * (5^2  mod 221) = 125 mod 221

125 * (5^4  mod 221) = 112 mod 221

112 * (5^16  mod 221) = 112 mod 221

112 * (5^32  mod 221) = 112 mod 221

所以答案是5^55 = 112 mod 221。这有效的原因是因为

55 = 1 + 2 + 4 + 16 + 32

以便

5^55 = 5^(1 + 2 + 4 + 16 + 32) mod 221

     = 5^1 * 5^2 * 5^4 * 5^16 * 5^32 mod 221

     = 5 * 25 * 183 * 1 * 1 mod 221

     = 22875 mod 221

     = 112 mod 221

在我们计算步骤5^1 mod 221，5^2 mod 221等我们注意到5^(2^k)= 5^(2^(k-1)) * 5^(2^(k-1))因为2^k = 2^(k-1) + 2^(k-1)这样我们就可以首先计算5^1和减少mod 221，那么这个平方和降低mod 221以获得5^2 mod 221等

上述算法形式化了这个想法。

Answer 2

您可以使用指数的二进制扩展来加快进程（这可能对非常大的指数有用）。首先计算5,5 ^ 2,5 ^ 4,5 ^ 8 mod 221 - 你通过重复平方来做到这一点：

 5^1 = 5(mod 221)

 5^2 = 5^2 (mod 221) = 25(mod 221)

 5^4 = (5^2)^2 = 25^2(mod 221) = 625 (mod 221) = 183(mod221)

 5^8 = (5^4)^2 = 183^2(mod 221) = 33489 (mod 221) = 118(mod 221)

5^16 = (5^8)^2 = 118^2(mod 221) = 13924 (mod 221) = 1(mod 221)

5^32 = (5^16)^2 = 1^2(mod 221) = 1(mod 221)

现在我们可以写了

55 = 1 + 2 + 4 + 16 + 32

so 5^55 = 5^1 * 5^2 * 5^4 * 5^16 * 5^32 

        = 5   * 25  * 625 * 1    * 1 (mod 221)

        = 125 * 625 (mod 221)

        = 125 * 183 (mod 183) - because 625 = 183 (mod 221)

        = 22875 ( mod 221)

        = 112 (mod 221)

你可以看到非常大的指数如何更快（我相信它是log而不是b中的线性，但不确定。）

Answer 3

/* The algorithm is from the book "Discrete Mathematics and Its

   Applications 5th Edition" by Kenneth H. Rosen.

   (base^exp)%mod

*/

int modular(int base, unsigned int exp, unsigned int mod)

{

    int x = 1;

    int power = base % mod;

    for (int i = 0; i < sizeof(int) * 8; i++) {

        int least_sig_bit = 0x00000001 & (exp >> i);

        if (least_sig_bit)

            x = (x * power) % mod;

        power = (power * power) % mod;

    }

    return x;

}