在16位、32位和64位IEEE-754系统中，可以表示什么范围的数字？

Question

在16位、32位和64位IEEE-754系统中，可以表示什么范围的数字？我知道浮点数是如何表示的，但恐怕还不够。总的问题是：对于给定的精度(就我的目的而言，基数10中的精确小数位数)，16位、32位和64位IEEE-754系统的数字范围是多少？具体来说，我只对精确到+/-0.5(1位)或+/-0.0005(千分之一位)的16位和32位数字的范围感兴趣。

Answer 1

为某一给定IEEE-754浮点数X，如果

2^E <= abs(X) < 2^(E+1)

那么距离X到下一个可表示的最大浮点数(埃普西隆)是：

epsilon = 2^(E-52)    % For a 64-bit float (double precision)
epsilon = 2^(E-23)    % For a 32-bit float (single precision)
epsilon = 2^(E-10)    % For a 16-bit float (half precision)

根据上述方程式，我们可以计算出下列各点：

• 为半精度...

  如果您希望获得+/-0.5(或2^-1)的精度，则该数字的最大大小为2^10。任何大于此的值，浮点数之间的距离都大于0.5。

  如果您想要一个+/-0.0005的精度(大约2^-11)，那么这个数字的最大大小是1，任何大于这个值的值，浮点数之间的距离都大于0.0005。

• 为单精度...

  如果希望精度为+/-0.5(或2^-1)，则该数字的最大大小为2^23。任何大于此和浮点数之间的距离都大于0.5。

  如果您希望获得+/-0.0005(约2^-11)的精度，则该数字的最大大小为2^13。任何大于此的值和浮点数之间的距离都大于0.0005。

• 为双精度...

  如果希望精度为+/-0.5(或2^-1)，则该数字的最大大小为2^52。任何大于此和浮点数之间的距离都大于0.5。

  如果要获得+/-0.0005(约2^-11)的精度，则该数字的最大大小为2^42。任何大于此和浮点数之间的距离都大于0.0005。

Answer 2

对于浮点整数(我将用ieee双精度给出我的答案)，1到2^53之间的每一个整数都是完全可表示的。在2^53以上，完全可表示的整数通过增加2的幂来分隔。例如：

• 2^53+2和2^54之间的第二个整数可以精确表示。
• 2^54+4和2^55之间的第四个整数可以精确地表示。
• 2^55+8和2^56之间的每8个整数都可以精确地表示。
• 2^56+16和2^57之间的每16个整数都可以精确地表示。
• 在2^57+32和2^58之间的每32个整数都可以精确地表示。
• 2^58+64和2^59之间的每64个整数都可以精确地表示。
• 2^59+128和2^60之间的每128个整数都可以精确表示。
• 在2^60+256和2^61之间的每256个整数都可以精确地表示。
• 2^61+512和2^62之间的每512个整数都可以精确表示。......

不完全可表示的整数被四舍五入到最近的可表示整数，因此最坏的情况是舍入为可表示整数之间的间隔的1/2。

Answer 3

从Peter R的链接到MSDN Ref的精确引用可能是一个很好的经验法则，但当然现实要复杂得多。

“浮点”中的“点”是双星小数点而不是小数点有一种方法可以打败我们的直觉。典型的例子是0.1，它只需要一个小数位数的精度，但根本不能用二进制表示。

如果你有周末要消磨时间，看看关于浮点算法，每个计算机科学家都应该知道些什么？..您可能特别感兴趣的是精密度和二进制到十进制转换.