神经网络

神经网络(Neural Network)是一种十分强大的机器学习算法。神经网络的模型类似脑细胞传递神经信号的方式。下面是单个脑细胞的示意图：

一个脑细胞通过多个树突接收某种电信号，然后通过轴突将信号传递给下一个脑细胞。大量的脑细胞彼此相连就会形成一个极其庞大的网络。神经网络算法正是模拟了脑细胞传播电信号的过程。

下面是通过课程作业，实现的一个手写体数字识别的机器学习例子。采用的是神经网络算法实现的多元分类问题。在这个例子中，我们试图将一张点阵图识别成0-9的数字，因此，该分类问题的分类结果总共有10类，输入则是每一张20x20的点阵图像素组成的向量。

模型表示

让我们来看看如何表示神经网络的假设函数。可以把单个神经元看成是一个接收输入信号，经过一定的“激励”后，输出信号的单元。在我们的模型中，输入就好比特征向量x1⋯xn，输出则是假设函数的值。针对输入向量，我们会增加一个x0项，称为偏差单元(bias unit)，并且总是为1。使用神经网络解决分类问题时，我们使用g函数

11+e−θTx

来作为激励函数。特征向量在输入神经元前，会有一个表示不同特征权重的向量作用于输入向量，也就是说特征向量在输入前会经过θ向量进行弱化或强化。

输入节点也称为输入层，输出节点也称为输出层。只有输入层和输出层的神经网路其实跟逻辑回归模型没有区别。我们可以在输入层和输出层之前增加若干隐藏层，隐藏层中的单元也叫激励单元(activation units)。

• a(j)i

  记作第j层的第i个激励值

• Θ(j)

  记作从第j层向第j+1层传播时的权重矩阵

每个激励值的计算方法如下：

a(2)1=g(Θ(1)10x0+Θ(1)11x1+Θ(1)12x2+Θ(1)13x3)a(2)2=g(Θ(1)20x0+Θ(1)21x1+Θ(1)22x2+Θ(1)23x3)a(2)3=g(Θ(1)30x0+Θ(1)31x1+Θ(1)32x2+Θ(1)33x3)hΘ(x)=a(3)1=g(Θ(2)10a(2)0+Θ(2)11a(2)1+Θ(2)12a(2)2+Θ(2)13a(2)3)

上式描述的是，用一个3x4的矩阵

Θ(1)

乘以输入向量，得到激励节点。最终的输出是激励节点经过另一个1x4矩阵

Θ(2)

后得到的。不难得出如下结论：

如果第j层有

sj

个单元，第j+1层有

sj+1

个单元，那么

Θ(j)

的阶数为

sj+1×(sj+1)

。+1源自于每一层的偏差单元(bias unit)。

实现逻辑运算

为了更好的理解上述模型，下面通过神经网络算法来训练模型进行逻辑运算。首先先实现一个逻辑或运算

x1

OR

x2

：

如上图，我们通过一个简单的2层神经网络实现了一个OR逻辑门。设置

Θ1

为：

Θ1=[−10 20 20]

记得我们的g函数

11+e−θTx

，我们可以得到右边的真值表。因此，对于这个神经网络，上述

Θ1

就是模型需要习得的参数。

对于这个问题似乎使用普通的逻辑回归也能解决，那是因为对于逻辑或而言，仍然属于线性问题。但是下面我们要计算的同或运算，就是非线性问题了：

我们可以把同或运算写成如下形式：

(x1 AND x2) OR ((NOTx1) AND (NOT x2))

通过组合，我们可以得到下面的神经网络：

这是个3层神经网络，有一个输入层，一个隐藏层（2个激励节点），一个输出层：

Θ1=[−30 20 20−10 −20 −20]Θ2=[−10 20 20]

实现多元分类

上述逻辑运算的例子最后得到的是一个值（即0或1）。很多实际的问题需要我们解决多元分类问题。其实我们只要让神经网络输出层包含多个节点即可，例如将一个张图的像素输入，预测图片是什么：

原文链接：https://segmentfault.com/a/1190000014081024