6天通吃树结构—— 第一天 二叉查找树

        一直很想写一个关于树结构的专题，再一个就是很多初级点的码农会认为树结构无用论，其实归根到底还是不清楚树的实际用途。

一：场景：

1：现状

    前几天我的一个大学同学负责的网站出现了严重的性能瓶颈，由于业务是写入和读取都是密集型，如果做缓存，时间间隔也只能在30s左

右，否则就会引起客户纠纷，所以同学也就没有做缓存，通过测试发现慢就慢在数据读取上面，总共需要10s，天啊...原来首页的加载关联

到了4张表，而且表数据中最多的在10w条以上，可以想象4张巨大表的关联，然后就是排序+范围查找等等相关的条件，让同学抓狂。

2：我个人的提供解决方案

 ① 读取问题

    既然不能做缓存，那没办法，我们需要自己维护一套”内存数据库“，数据如何组织就靠我们的算法功底了，比如哈希适合等于性的查找，

树结构适合”范围查找“，lucene适合字符串的查找，我们在添加和更新的时候同时维护自己的内存数据库，最终杜绝表关联，老同学，还

是先应急，把常用的表灌倒内存，如果真想项目好的话，改架构吧...

② 添加问题

   或许你的Add操作还没有达到瓶颈这一步，如果真的达到了那就看情况来进行”表切分“，”数据库切分“吧，让用户的Add或者Update

操作分流，虽然做起来很复杂，但是没办法，总比用户纠纷强吧，可对...

二：二叉查找树

    正式切入主题，从上面的说明我们知道了二叉树非常适合于范围查找，关于树的基本定义，这里我就默认大家都知道，我就直接从

查找树说起了。

1：定义

   查找树的定义非常简单，一句话就是左孩子比父节点小，右孩子比父节点大，还有一个特性就是”中序遍历“可以让结点有序。

2：树节点

为了具有通用性，我们定义成泛型模板，在每个结点中增加一个”数据附加域”。

 1     /// <summary> 2     /// 二叉树节点 3     /// </summary> 4     /// <typeparam name="K"></typeparam> 5     /// <typeparam name="V"></typeparam> 6     public class BinaryNode<K, V> 7     { 8         /// <summary> 9         /// 节点元素10         /// </summary>11         public K key;12 13         /// <summary>14         /// 节点中的附加值15         /// </summary>16         public HashSet<V> attach = new HashSet<V>();17 18         /// <summary>19         /// 左节点20         /// </summary>21         public BinaryNode<K, V> left;22 23         /// <summary>24         /// 右节点25         /// </summary>26         public BinaryNode<K, V> right;27 28         public BinaryNode() { }29 30         public BinaryNode(K key, V value, BinaryNode<K, V> left, BinaryNode<K, V> right)31         {32             //KV键值对33             this.key = key;34             this.attach.Add(value);35 36             this.left = left;37             this.right = right;38         }39     }

3：添加

   根据查找树的性质我们可以很简单的写出Add的代码，一个一个的比呗，最终形成的效果图如下

这里存在一个“重复节点”的问题，比如说我在最后的树中再插入一个元素为15的结点，那么此时该怎么办，一般情况下，我们最好

不要在树中再追加一个重复结点，而是在“重复节点"的附加域中进行”+1“操作。

 1        #region 添加操作 2         /// <summary> 3         /// 添加操作 4         /// </summary> 5         /// <param name="key"></param> 6         /// <param name="value"></param> 7         public void Add(K key, V value) 8         { 9             node = Add(key, value, node);10         }11         #endregion12 13         #region 添加操作14         /// <summary>15         /// 添加操作16         /// </summary>17         /// <param name="key"></param>18         /// <param name="value"></param>19         /// <param name="tree"></param>20         /// <returns></returns>21         public BinaryNode<K, V> Add(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)22         {23             if (tree == null)24                 tree = new BinaryNode<K, V>(key, value, null, null);25 26             //左子树27             if (key.CompareTo(tree.key) < 0)28                 tree.left = Add(key, value, tree.left);29 30             //右子树31             if (key.CompareTo(tree.key) > 0)32                 tree.right = Add(key, value, tree.right);33 34             //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）35             if (key.CompareTo(tree.key) == 0)36                 tree.attach.Add(value);37 38             return tree;39         }40         #endregion

4:范围查找

    这个才是我们使用二叉树的最终目的，既然是范围查找，我们就知道了一个”min“和”max“，其实实现起来也很简单，

第一步：我们要在树中找到min元素，当然min元素可能不存在，但是我们可以找到min的上界，耗费时间为O(logn)。

第二步：从min开始我们中序遍历寻找max的下界。耗费时间为m。m也就是匹配到的个数。

最后时间复杂度为M+logN，要知道普通的查找需要O(N)的时间，比如在21亿的数据规模下，匹配的元素可能有30个，那么最后

的结果也就是秒杀和几个小时甚至几天的巨大差异，后面我会做实验说明。

 1         #region 树的指定范围查找 2         /// <summary> 3         /// 树的指定范围查找 4         /// </summary> 5         /// <param name="min"></param> 6         /// <param name="max"></param> 7         /// <returns></returns> 8         public HashSet<V> SearchRange(K min, K max) 9         {10             HashSet<V> hashSet = new HashSet<V>();11 12             hashSet = SearchRange(min, max, hashSet, node);13 14             return hashSet;15         }16         #endregion17 18         #region 树的指定范围查找19         /// <summary>20         /// 树的指定范围查找21         /// </summary>22         /// <param name="range1"></param>23         /// <param name="range2"></param>24         /// <param name="tree"></param>25         /// <returns></returns>26         public HashSet<V> SearchRange(K min, K max, HashSet<V> hashSet, BinaryNode<K, V> tree)27         {28             if (tree == null)29                 return hashSet;30 31             //遍历左子树（寻找下界）32             if (min.CompareTo(tree.key) < 0)33                 SearchRange(min, max, hashSet, tree.left);34 35             //当前节点是否在选定范围内36             if (min.CompareTo(tree.key) <= 0 && max.CompareTo(tree.key) >= 0)37             {38                 //等于这种情况39                 foreach (var item in tree.attach)40                     hashSet.Add(item);41             }42 43             //遍历右子树（两种情况：①:找min的下限 ②：必须在Max范围之内）44             if (min.CompareTo(tree.key) > 0 || max.CompareTo(tree.key) > 0)45                 SearchRange(min, max, hashSet, tree.right);46 47             return hashSet;48         }49         #endregion

5：删除

   对于树来说，删除是最复杂的，主要考虑两种情况。

<1>单孩子的情况

     这个比较简单，如果删除的节点有左孩子那就把左孩子顶上去，如果有右孩子就把右孩子顶上去，然后打完收工。

<2>左右都有孩子的情况。

     首先可以这么想象，如果我们要删除一个数组的元素，那么我们在删除后会将其后面的一个元素顶到被删除的位置，如图

那么二叉树操作同样也是一样，我们根据”中序遍历“找到要删除结点的后一个结点，然后顶上去就行了，原理跟"数组”一样一样的。

同样这里也有一个注意的地方，在Add操作时，我们将重复元素的值追加到了“附加域”，那么在删除的时候，就可以先判断是

不是要“-1”操作而不是真正的删除节点，其实这里也就是“懒删除”，很有意思。

 1         #region 删除当前树中的节点 2         /// <summary> 3         /// 删除当前树中的节点 4         /// </summary> 5         /// <param name="key"></param> 6         /// <returns></returns> 7         public void Remove(K key, V value) 8         { 9             node = Remove(key, value, node);10         }11         #endregion12 13         #region 删除当前树中的节点14         /// <summary>15         /// 删除当前树中的节点16         /// </summary>17         /// <param name="key"></param>18         /// <param name="tree"></param>19         /// <returns></returns>20         public BinaryNode<K, V> Remove(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)21         {22             if (tree == null)23                 return null;24 25             //左子树26             if (key.CompareTo(tree.key) < 0)27                 tree.left = Remove(key, value, tree.left);28 29             //右子树30             if (key.CompareTo(tree.key) > 0)31                 tree.right = Remove(key, value, tree.right);32 33             /*相等的情况*/34             if (key.CompareTo(tree.key) == 0)35             {36                 //判断里面的HashSet是否有多值37                 if (tree.attach.Count > 1)38                 {39                     //实现惰性删除40                     tree.attach.Remove(value);41                 }42                 else43                 {44                     //有两个孩子的情况45                     if (tree.left != null && tree.right != null)46                     {47                         //根据二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点48                         tree.key = FindMin(tree.right).key;49 50                         //删除右子树的指定元素51                         tree.right = Remove(key, value, tree.right);52                     }53                     else54                     {55                         //单个孩子的情况56                         tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;57                     }58                 }59             }60 61             return tree;62         }63         #endregion

三：测试

   假如现在我们有一张User表，我要查询"2012/7/30 4:30:00"到"2012/7/30 4:40:00"这个时间段登陆的用户，我在txt中生成一个

33w的userid和time的数据，看看在33w的情况下读取效率如何...

View Code

  1 using System;  2 using System.Collections.Generic;  3 using System.Linq;  4 using System.Text;  5 using System.Threading;  6 using System.IO;  7 using System.Diagnostics;  8   9 namespace DataStruct 10 { 11     class Program 12     { 13         static void Main(string[] args) 14         { 15             List<long> list = new List<long>(); 16  17             Dictionary<DateTime, int> dic = new Dictionary<DateTime, int>(); 18  19             BinaryTree<DateTime, int> tree = new BinaryTree<DateTime, int>(); 20  21             using (StreamReader sr = new StreamReader(Environment.CurrentDirectory + "//1.txt")) 22             { 23                 var line = string.Empty; 24  25                 while (!string.IsNullOrEmpty(line = sr.ReadLine())) 26                 { 27                     var userid = Convert.ToInt32(line.Split(new char[] { ',' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)[0]); 28  29                     var time = Convert.ToDateTime(line.Split(new char[] { ',' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)[1]); 30  31                     //防止dic出错，为了进行去重处理 32                     if (!dic.ContainsKey(time)) 33                     { 34                         dic.Add(time, userid); 35  36                         tree.Add(time, userid); 37                     } 38                 } 39             } 40  41             var min = Convert.ToDateTime("2012/7/30 4:30:00"); 42  43             var max = Convert.ToDateTime("2012/7/30 4:40:00"); 44  45             var watch = Stopwatch.StartNew(); 46  47             var result1 = dic.Keys.Where(i => i >= min && i <= max).Select(i => dic[i]).ToList(); 48  49             watch.Stop(); 50  51             Console.WriteLine("字典查找耗费时间:{0}ms，获取总数:{1}", watch.ElapsedMilliseconds, result1.Count); 52  53             watch = Stopwatch.StartNew(); 54  55             var result2 = tree.SearchRange(min, max); 56  57             watch.Stop(); 58  59             Console.WriteLine("二叉树耗费时间:{0}ms，获取总数:{1}", watch.ElapsedMilliseconds, result2.Count); 60         } 61     } 62  63     #region 二叉树节点 64     /// <summary> 65     /// 二叉树节点 66     /// </summary> 67     /// <typeparam name="K"></typeparam> 68     /// <typeparam name="V"></typeparam> 69     public class BinaryNode<K, V> 70     { 71         /// <summary> 72         /// 节点元素 73         /// </summary> 74         public K key; 75  76         /// <summary> 77         /// 节点中的附加值 78         /// </summary> 79         public HashSet<V> attach = new HashSet<V>(); 80  81         /// <summary> 82         /// 左节点 83         /// </summary> 84         public BinaryNode<K, V> left; 85  86         /// <summary> 87         /// 右节点 88         /// </summary> 89         public BinaryNode<K, V> right; 90  91         public BinaryNode() { } 92  93         public BinaryNode(K key, V value, BinaryNode<K, V> left, BinaryNode<K, V> right) 94         { 95             //KV键值对 96             this.key = key; 97             this.attach.Add(value); 98  99             this.left = left;100             this.right = right;101         }102     }103     #endregion104 105     public class BinaryTree<K, V> where K : IComparable106     {107         public BinaryNode<K, V> node = null;108 109         #region 添加操作110         /// <summary>111         /// 添加操作112         /// </summary>113         /// <param name="key"></param>114         /// <param name="value"></param>115         public void Add(K key, V value)116         {117             node = Add(key, value, node);118         }119         #endregion120 121         #region 添加操作122         /// <summary>123         /// 添加操作124         /// </summary>125         /// <param name="key"></param>126         /// <param name="value"></param>127         /// <param name="tree"></param>128         /// <returns></returns>129         public BinaryNode<K, V> Add(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)130         {131             if (tree == null)132                 tree = new BinaryNode<K, V>(key, value, null, null);133 134             //左子树135             if (key.CompareTo(tree.key) < 0)136                 tree.left = Add(key, value, tree.left);137 138             //右子树139             if (key.CompareTo(tree.key) > 0)140                 tree.right = Add(key, value, tree.right);141 142             //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）143             if (key.CompareTo(tree.key) == 0)144                 tree.attach.Add(value);145 146             return tree;147         }148         #endregion149 150         #region 是否包含指定元素151         /// <summary>152         /// 是否包含指定元素153         /// </summary>154         /// <param name="key"></param>155         /// <returns></returns>156         public bool Contain(K key)157         {158             return Contain(key, node);159         }160         #endregion161 162         #region 是否包含指定元素163         /// <summary>164         /// 是否包含指定元素165         /// </summary>166         /// <param name="key"></param>167         /// <param name="tree"></param>168         /// <returns></returns>169         public bool Contain(K key, BinaryNode<K, V> tree)170         {171             if (tree == null)172                 return false;173             //左子树174             if (key.CompareTo(tree.key) < 0)175                 return Contain(key, tree.left);176 177             //右子树178             if (key.CompareTo(tree.key) > 0)179                 return Contain(key, tree.right);180 181             return true;182         }183         #endregion184 185         #region 树的指定范围查找186         /// <summary>187         /// 树的指定范围查找188         /// </summary>189         /// <param name="min"></param>190         /// <param name="max"></param>191         /// <returns></returns>192         public HashSet<V> SearchRange(K min, K max)193         {194             HashSet<V> hashSet = new HashSet<V>();195 196             hashSet = SearchRange(min, max, hashSet, node);197 198             return hashSet;199         }200         #endregion201 202         #region 树的指定范围查找203         /// <summary>204         /// 树的指定范围查找205         /// </summary>206         /// <param name="range1"></param>207         /// <param name="range2"></param>208         /// <param name="tree"></param>209         /// <returns></returns>210         public HashSet<V> SearchRange(K min, K max, HashSet<V> hashSet, BinaryNode<K, V> tree)211         {212             if (tree == null)213                 return hashSet;214 215             //遍历左子树（寻找下界）216             if (min.CompareTo(tree.key) < 0)217                 SearchRange(min, max, hashSet, tree.left);218 219             //当前节点是否在选定范围内220             if (min.CompareTo(tree.key) <= 0 && max.CompareTo(tree.key) >= 0)221             {222                 //等于这种情况223                 foreach (var item in tree.attach)224                     hashSet.Add(item);225             }226 227             //遍历右子树（两种情况：①:找min的下限 ②：必须在Max范围之内）228             if (min.CompareTo(tree.key) > 0 || max.CompareTo(tree.key) > 0)229                 SearchRange(min, max, hashSet, tree.right);230 231             return hashSet;232         }233         #endregion234 235         #region 找到当前树的最小节点236         /// <summary>237         /// 找到当前树的最小节点238         /// </summary>239         /// <returns></returns>240         public BinaryNode<K, V> FindMin()241         {242             return FindMin(node);243         }244         #endregion245 246         #region 找到当前树的最小节点247         /// <summary>248         /// 找到当前树的最小节点249         /// </summary>250         /// <param name="tree"></param>251         /// <returns></returns>252         public BinaryNode<K, V> FindMin(BinaryNode<K, V> tree)253         {254             if (tree == null)255                 return null;256 257             if (tree.left == null)258                 return tree;259 260             return FindMin(tree.left);261         }262         #endregion263 264         #region 找到当前树的最大节点265         /// <summary>266         /// 找到当前树的最大节点267         /// </summary>268         /// <returns></returns>269         public BinaryNode<K, V> FindMax()270         {271             return FindMin(node);272         }273         #endregion274 275         #region 找到当前树的最大节点276         /// <summary>277         /// 找到当前树的最大节点278         /// </summary>279         /// <param name="tree"></param>280         /// <returns></returns>281         public BinaryNode<K, V> FindMax(BinaryNode<K, V> tree)282         {283             if (tree == null)284                 return null;285 286             if (tree.right == null)287                 return tree;288 289             return FindMax(tree.right);290         }291         #endregion292 293         #region 删除当前树中的节点294         /// <summary>295         /// 删除当前树中的节点296         /// </summary>297         /// <param name="key"></param>298         /// <returns></returns>299         public void Remove(K key, V value)300         {301             node = Remove(key, value, node);302         }303         #endregion304 305         #region 删除当前树中的节点306         /// <summary>307         /// 删除当前树中的节点308         /// </summary>309         /// <param name="key"></param>310         /// <param name="tree"></param>311         /// <returns></returns>312         public BinaryNode<K, V> Remove(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)313         {314             if (tree == null)315                 return null;316 317             //左子树318             if (key.CompareTo(tree.key) < 0)319                 tree.left = Remove(key, value, tree.left);320 321             //右子树322             if (key.CompareTo(tree.key) > 0)323                 tree.right = Remove(key, value, tree.right);324 325             /*相等的情况*/326             if (key.CompareTo(tree.key) == 0)327             {328                 //判断里面的HashSet是否有多值329                 if (tree.attach.Count > 1)330                 {331                     //实现惰性删除332                     tree.attach.Remove(value);333                 }334                 else335                 {336                     //有两个孩子的情况337                     if (tree.left != null && tree.right != null)338                     {339                         //根据二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点340                         tree.key = FindMin(tree.right).key;341 342                         //删除右子树的指定元素343                         tree.right = Remove(tree.key, value, tree.right);344                     }345                     else346                     {347                         //单个孩子的情况348                         tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;349                     }350                 }351             }352 353             return tree;354         }355         #endregion356     }357 }

比普通的dictionary效率还仅仅是快11倍，从数量级来说还不是非常明显，为什么说不是非常明显，这是因为普通的查找树的时间复杂度

不是严格的log(N)，在最坏的情况下会出现“链表”的形式，复杂度退化到O(N)，比如下图。

不过总会有解决办法的，下一篇我们继续聊如何旋转，保持最坏复杂度在O(logN)。