算法洗脑系列（8篇）——第一篇 递推思想

     像俺一样奋斗在一线的码农们，一谈到学编程，都是说要学会XX语言就OK了，其实我们理解的有一点点的偏差，因为我们只说到了

三分之一，其实真正的编程应该是：编程=数据结构+算法+XX语言。

    对的，XX语言只是一个工具而已，就好比我们知道用笔来写字，但是不见得我们就能写出一手让张恨水为之倾倒的好字，其实我也说过

算法不仅仅用于程序设计中，在我们的生活中也处处存在着算法，比如记得我大二学C#的时候，无聊的我们就出了个猜美女芳龄的问题。

 1  static void Main(string[] args)
 2         {
 3             Random random = new Random();
 4 
 5             int mm = new Random().Next(16, 33);
 6 
 7             int guess = 0;
 8 
 9             int count = 0;
10 
11             Console.WriteLine("现有一美女，请猜她的芳龄(16,32)\n");
12 
13             do
14             {
15                 Console.Write("请输入你认为正确的年龄：\t");
16 
17                 guess = int.Parse(Console.ReadLine());
18 
19                 if (guess < mm)
20                     Console.WriteLine("低了!\n");
21 
22                 if (guess > mm)
23                     Console.WriteLine("高了！\n");
24 
25                 if (guess == mm)
26                     Console.WriteLine("恭喜，猜对了！\n");
27 
28                 count = count + 1;
29 
30             } while (mm != guess);
31 
32             Console.WriteLine("你一共猜了：\t" + count + "次");
33 
34             Console.ReadLine();
35         }

针对这个问题，大家如何 “又快又稳” 的猜出mm的芳龄呢？如果是一个不懂算法的人，估计就是一个for循环进行查找，但是这个的复杂度是O(n)。

那么懂算法的人就会利用年龄有序这个特点进行"二分查找“，这个复杂度就是log₂N，所以说学算法，懂算法可以给我们实际应用中带来更好的解决方案。

好了，不扯了，今天主要讲的是“递推思想”。

一： 概念

     通过已知条件，利用特定关系逐步递推，最终得到结果为止，核心就是不断的利用现有信息推导出新的东西。

二：分类

     当然递推中有两种，“顺推”和“逆推“

     顺推：从条件推出结果。

     逆推：从结果推出条件。

呵呵，是不是觉的有一种policeman破案的感觉。

三： 举例

<1> 顺推的例子

      上过大学的应该都知道著名的“斐波那契”数列吧，说的是繁殖兔子的问题，题目我就大概说一下。

如果1对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月就可以生1对小兔子，如果从1对初生的小兔子开始，1年后能

繁殖多少兔子？

思路：其实这个问题我们可以将兔子划分为“1月大的兔子“，”2月大的兔子“，”3月大的兔子“。

        ① 初始时：            一对1月大小兔子，总数为1对。

        ② 第一个月：         1月大的小兔子变成2月大的兔子，总数还是1对。

        ③ 第二个月：         2月大的小兔子变成3月大的兔子，繁殖了一对小兔子，总数为2对。

        ④ 第三个月：         3月大的兔子tmd有生了一对小兔子，上个月1月大的小兔子变成了2月大的兔子，总数为3对。

         ......                    ......

        F₀=1

        F₁=1

        F₂=F₀+F₁

        F₃=F₁+F₂

        ......

        F_n=F_n-2+F_n-1

大家看看，是不是体现了”递推“的核心思想，代码也很简单。

 1             int month = 12;
 2 
 3             int[] fab = new int[month];
 4 
 5             fab[0] = 1;
 6 
 7             fab[1] = 1;
 8 
 9             //从已知条件出发推出结果
10             for (int i = 2; i < month; i++)
11             {
12                 fab[i] = fab[i - 1] + fab[i - 2];
13             }
14 
15             for (int i = 0; i < month; i++)
16             {
17                 Console.WriteLine("第{0}个月兔子为：{1}", i, fab[i]);
18             }

<2> 逆推的例子

       这个一个关于存钱的问题，一个富二代给他儿子的四年大学生活存一笔钱，富三代每月只能取3k作为下个月的生活费，采用的是整存零取的方式，

   年利率在1.71%，请问富二代需要一次性存入多少钱。

思路: 这个题目是我们知道了结果，需要逆推条件， 第48月富三代要连本带息的把3k一把取走，那么

        第47月存款应为： (第48个月的存款+3000)/(1+0.0171/12(月))；

        第46月存款应为： (第47个月的存款+3000)/(1+0.0171/12(月));

         .....                    .....

        第1个月存款应为: (第2个月的存款+3000)/(1+0.0171/12(月));

 1   //银行取钱问题
 2             double[] month = new double[49];
 3 
 4             ///最后一个月的连本带息是3000
 5             month[48] = 3000;
 6 
 7             double rate = 0.0171;
 8 
 9             //逆推
10             for (int i = 47; i > 0; i--)
11             {
12                 month[i] = (month[i + 1] + month[48]) / (1 + rate / 12);
13             }
14 
15             for (int i = 48; i > 0; i--)
16             {
17                 Console.WriteLine("第{0}个月末本利合计：{1}", i, month[i]);
18             }