ACM常用数列（斐波那契数列、卡特兰数、贝尔数、斯特灵数）

斐波那契数列：任意一个数是其前两位数只和，即f(i)=f(i-1)+f(i-2),f(1)=f(2)=1

该数列也满足黄金分割比例，所以又成为黄金分割数列

相关题目链接：Fibbonacci Number

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2070

#include<stdio.h>int main(){__int64 s[51]={0,1};int i;for(i=2;i<=50;i++)s[i]=s[i-2]+s[i-1];int n;while(scanf("%d",&n)&&(n!=-1))printf("%I64d\n",s[n]);return 0;}

卡特兰数：实际上就是出栈序列的种数，记得有一年蓝桥杯考的卡特兰数，当时还不知道，所以写了32个for循环

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式:

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式:

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为:

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为:

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

更详细说明：http://baike.so.com/doc/6127416-6340576.html

相关题目链接：小兔的棋盘

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2067

#include<stdio.h>int main(){__int64 a[36];int i,j;a[1]=1;for(i=2;i<=35;i++)a[i]=a[i-1]*1.0/(i+1)*(4*i-2);int n;int x=1;while(scanf("%d",&n)){if(n==-1)break;printf("%d %d %I64d\n",x,n,2*a[n]);x++;}return 0;}

Bell数，又称为贝尔数。
是以埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)为名的。
B(n)是包含n个元素的集合的划分方法的数目。
B(0) = 1, B(1) = 1, B(2) = 2, B(3) = 5, 
B(4) = 15, B(5) = 52, B(6) = 203,..
递推公式为，
B(0) = 1,
B(n+1) = Sum(0,n) C(n,k)B(k). n = 1,2,...
其中，Sum(0,n)表示对k从0到n求和，C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]
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Stirling数，又称为斯特灵数。
在组合数学，Stirling数可指两类数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。
第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目。
递推公式为，
S(n,0) = 0, S(1,1) = 1.
S(n+1,k) = S(n,k-1) + nS(n,k)。
第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。
递推公式为，
S(n,n) = S(n,1) = 1,
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).
将n个有区别的球的球放入k个无标号的盒子中( n>=k>=1，且盒子不允许为空)的方案数就是stirling数.(即含 n 个元素的集合划分为 k 个集合的情况数)
　　递推公式:
　　S(n,k) = 0 (k > n)
　　S(n,1) = 1 (k = 1)
　　s(n,k)=1 (n=k)
　　S(n,k) = S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) (n >= k >= 2)
　　分析：设有n个不同的球，分别用b1,b2,...,bn表示。从中取出一个球bn，bn的放法有以下两种：
　　1.bn独占一个盒子，那么剩下的球只能放在k-1个盒子里，方案数为S（n-1,k-1);
　　2.bn与别的球共占一个盒子，那么可以将b1,b2,...,bn-1这n-1个球放入k个盒子里，然后将bn放入其中一个盒子中，方案数为k*S(n-1,m).
-------------
bell数和stirling数的关系为，

每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和。

B(n) = Sum(1,n) S(n,k).
此部分转载于http://www.cnblogs.com/xiaoxian1369/archive/2011/08/26/2154783.html 含HDU两道例题

以下代码列出了斯特灵数

#include<stdio.h>int main()//斯特灵数 {	char *w[100];	int n;w[1]="1";w[2]="3";w[3]="13";w[4]="75";w[5]="541";w[6]="4683";w[7]="47293";w[8]="545835";w[9]="7087261";w[10]="102247563";w[11]="1622632573";w[12]="28091567595";w[13]="526858348381";w[14]="10641342970443";w[15]="230283190977853";w[16]="5315654681981355";w[17]="130370767029135901";w[18]="3385534663256845323";w[19]="92801587319328411133";w[20]="2677687796244384203115";w[21]="81124824998504073881821";w[22]="2574844419803190384544203";w[23]="85438451336745709294580413";w[24]="2958279121074145472650648875";w[25]="106697365438475775825583498141";w[26]="4002225759844168492486127539083";w[27]="155897763918621623249276226253693";w[28]="6297562064950066033518373935334635";w[29]="263478385263023690020893329044576861";w[30]="11403568794011880483742464196184901963";w[31]="510008036574269388430841024075918118973";w[32]="23545154085734896649184490637144855476395";w[33]="1120959742203056268267494209293006882589981";w[34]="54984904077825684862426868390301049750104843";w[35]="2776425695289206002630310219593685496163584253";w[36]="144199280951655469628360978109406917583513090155";w[37]="7697316738562185268347644943000493480404209089501";w[38]="421985466101260424678587486718115935844245187819723";w[39]="23743057231588741419119534567705900419786127935577533";w[40]="1370159636942236704917645663312384364386256449136591915";w[41]="81045623051154285047127402304207782853156976521592907421";w[42]="4910812975389574954318759599939388855544783946694910718603";w[43]="304646637632091740261982544696657582136519552428876887346813";w[44]="19338536506753895707368358095646384573117824953447578202397675";w[45]="1255482482235481041484313695469155949742941807533901307975355741";w[46]="83318804148028351409201335290659562069258599933450396080176273483";w[47]="5649570401186486930330812460375430692673276472202704742218853260093";w[48]="391229145645351175841837029639030040330277058716846008212321196523435";w[49]="27656793065414932606012896651489726461435178241015434306518713649426461";w[50]="1995015910118319790635433747742913123711612309013079035980385090523556363";	while(~scanf("%d",&n))	printf("%s\n",w[n]);	return 0;}