Python3入门机器学习 - 支撑向量机SVM

SVM的主要思想可以概括为两点：

1. 它是针对线性可分情况进行分析，对于线性不可分的情况，通过使用非线性映射算法将低维输入空间线性不可分的样本转化为高维特征空间使其线性可分，从而使得高维特征空间采用线性算法对样本的非线性特征进行线性分析成为可能。

2. 它基于结构风险最小化理论之上在特征空间中构建最优超平面，使得学习器得到全局最优化，并且在整个样本空间的期望以某个概率满足一定上界。

   
   

   

Hard Margin SVM

n维平面中点到直线的距离公式

对于红点和蓝点每个点应满足的不等式条件

image.png

问题最终转化为

即最终转化为有条件的最优化问题

有条件的最优化问题

Soft Margin SVM

将eta值加入模型正则化项，给模型一定的容错能力，C越大，容错空间越小，C越小，容错空间越大

使用scikit-learn中的svm

from sklearn import datasetsimport numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt#准备数据iris = datasets.load_iris()
X = iris['data']
y = iris['target']
X = X[y<2,:2]
y = y[y<2]#数据归一化（SVC涉及距离，应该使用数据归一化处理）from sklearn.preprocessing import StandardScaler
stdScaler = StandardScaler()
stdScaler.fit(X)
X_standard = stdScaler.transform(X)#实例化svc对象，训练模型from sklearn.svm import LinearSVC
svc = LinearSVC(C=1e9)
svc.fit(X_standard,y)

def plot_svc_decision_boundary(model,axis):
    x0,x1 = np.meshgrid(
        np.linspace(axis[0],axis[1],int((axis[1]-axis[0])*100)),
        np.linspace(axis[2],axis[3],int((axis[3]-axis[2])*100))
    )
    X_new = np.c_[x0.ravel(),x1.ravel()]
    
    y_predict = model.predict(X_new)
    zz = y_predict.reshape(x0.shape)    
    from matplotlib.colors import ListedColormap
    custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9'])
    
    plt.contourf(x0,x1,zz,linewidth=5,cmap=custom_cmap)    #除去决策边界外，还要画出svc支撑向量的线
    w = model.coef_[0]
    b = model.intercept_[0]    
    # w0x0 + w1x1 + b = 0
    # => x1 = -w0/w1*w0-b/w1
    
    plot_x = np.linspace(axis[0],axis[1],200)
    up_y = -w[0]/w[1] * plot_x - b/w[1] +1/w[1]
    down_y = -w[0]/w[1] * plot_x - b/w[1] -1/w[1]
    
    up_index = (up_y>=axis[2])&(up_y<=axis[3])
    down_index = (down_y>=axis[2])&(down_y<=axis[3])
    plt.plot(plot_x[up_index],up_y[up_index],color='black')
    plt.plot(plot_x[down_index],down_y[down_index],color='black')

plot_svc_decision_boundary(svc,axis=[-3,3,-3,3])
plt.scatter(X_standard[y==0,0],X_standard[y==0,1])
plt.scatter(X_standard[y==1,0],X_standard[y==1,1])
plt.show()

svc = LinearSVC(C=1e9)

svc = LinearSVC(C=0.1)

多项式特征应用于SVM

#使用制作数据的方法生成数据，噪音为0.15X,y = datasets.make_moons(noise=0.15)

plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1])
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
plt.show()from sklearn.preprocessing import PolynomialFeaturesfrom sklearn.pipeline import Pipelinedef PolynomialSVC(degree,C=1.0):
    return Pipeline([
        ("poly",PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ("std_standard",StandardScaler()),
        ("svc",LinearSVC(C=C))
    ])

使用多项式核函数的SVM

from sklearn.svm import SVCdef PolynomialKernelSVC(degree,C=1.0):
    return Pipeline([
        ("std_scaler",StandardScaler()),
        ("kernelSVC",SVC(kernel="poly",degree=degree,C=C))
    ])

poly_kernel_svc = PolynomialKernelSVC(degree=5)
poly_kernel_svc.fit(X,y)
plot_decision_boundary(poly_kernel_svc,axis=[-1.5,2.5,-1.0,1.5])
plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1])
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
plt.show()

与使用LinearSVC不同

原理

将原来的损失函数转换为右式

多项式原本转换是将xi，ji转换为新的矩阵，这里多项式核函数就是K函数，用函数K计算出新的矩阵，达到和原来多项式转换相同的效果

二次项K函数的计算方法

d代表degree，用多项式核函数的方法计算新的矩阵

RBFKernel（高斯核函数）

gamma为高斯核的超参数

def RBFKernelSVC(gamma=1.0):
    return Pipeline([
        ("std_sacler",StandardScaler()),
        ("svc",SVC(kernel="rbf",gamma=gamma))
    ])

svc = RBFKernelSVC()
svc.fit(X,y)

def plot_decision_boundary(model,axis):
    x0,x1 = np.meshgrid(
        np.linspace(axis[0],axis[1],int((axis[1]-axis[0])*100)),
        np.linspace(axis[2],axis[3],int((axis[3]-axis[2])*100))
    )
    X_new = np.c_[x0.ravel(),x1.ravel()]
    
    y_predict = model.predict(X_new)
    zz = y_predict.reshape(x0.shape)    
    from matplotlib.colors import ListedColormap
    custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9'])
    
    plt.contourf(x0,x1,zz,linewidth=5,cmap=custom_cmap)

plot_decision_boundary(svc,axis=[-1.5,2.5,-1.0,1.5])
plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1])
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
plt.show()

gamma=1.0的高斯核函数进行SVC

gamma=100的高斯核，过拟合

gamma=0.1的高斯核，欠拟合

SVM思想解决回归问题

boston = datasets.load_boston()

X = boston['data']
y = boston['target']from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y)from sklearn.svm import LinearSVR#epsilon为超参数def StandardLinearSVR(epsilon=0.1):
    return Pipeline([
        ("std_scaler",StandardScaler()),
        ("svc",LinearSVR(epsilon=epsilon))
    ])

lin_svr = StandardLinearSVR()
lin_svr.fit(X_train,y_train)
lin_svr.score(X_test,y_test)>>> 0.6735924094720267

作者：冰源_63ad
链接：https://www.jianshu.com/p/51ab4c904dc3