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算法复杂度分析

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算法

到底什么是大O

n表示数据规模
O(f(n)) fn是关于n的一个函数。表示运行算法所需要执行的指令数，和f(n)成正比。

和a.b.c.d这些常数项关系不大。主要还是看它是哪个层级的。

算法A：O(n) 所需执行指令数：10000n
算法B：O(n^2) 所需执行指令数：10n^2

n的规模逐渐增大。算法a.b的指令数变化。

当n大于某个临界点，a一定会超过b。这是量级上的差距。
复杂度很高的算法可能有前面的优势，在数据量很小的时候有意义。
- 对于所有高级的排序算法，当数据规模小到一定程度，我们都可以使用插入排序法进行优化。10%-15%。细节优化。
不同时间复杂度随着数据规模的增大

约定

在学术界，严格地讲，O(f(n))表示算法执行的上界
归并排序算法的时间复杂度是O(nlogn)的，同时也是O(n^2)
c.nlogn < a.n^2
在业界，我们就使用O来表示算法执行的最低上界
我们一般不会说归并排序是O(n^2)的

例子

以主导作用的为准：

O( nlogn + n ) = O( nlogn )

O( nlogn + n^2 ) = O( n^2 )

上面的公式要求算法处理的n是一样的（O( AlogA + B ) 、O( AlogA + B^2 )）
- 上面这种不能省略
- 对邻接表实现的图进行遍历：
- 时间复杂度：O( V + E ) V是顶点个数，E是边的个数。
- 稠密图，甚至完全图。E是近乎V^2级别。

一个时间复杂度的问题

有一个字符串数组，将数组中的每一个字符串按照字母序排序；之后再将整个字符串数组按照字典序排序。整个操作的时间复杂度？

每个字符串n*nlogn + 整个字符串数组：nlogn
- 错误字符串的长度和数组长度混淆

假设最长的字符串长度为s；数组中有n个字符串
对每个字符串排序：O(slogs)
将数组中的每一个字符串按照字母序排序：O(n*slog(s))

将整个字符串数组按照字典序排序：O(s*nlog(n))
- 解释：对于排序算法时间复杂度理解：
- nlogn 是比较的次数。对整型数组排序只需要nlogn次比较。
- 因为两个整数之间比较O(1)。两个字符串比较不一样O(s)。
O(nslog(s)) + O(snlog(n)) = O( nslogs + snlogn )= O( ns(logs+logn) )
字符串数组进行字典序排序。比较nlogn次，每次比较需要O(s)时间复杂度。

算法复杂度在有些情况是用例相关的

插入排序算法 O(n^2)

最差情况：O(n^2)
最好情况：O(n)：近乎有序
平均情况：O(n^2)

快速排序算法 O(nlogn)

最差情况：O(n^2) 不随机。有序
最好情况：O(nlogn) 随机化标定点
平均情况：O(nlogn)

严谨算法最好最差平均。我们经常关注的是大多数。
极端情况心里有数就行了。

数据规模的概念

对 10^5 的数据进行选择排序，结果计算机假死？

```c++

include <iostream>

include <cmath>

include <ctime>

using namespace std;

int main() {

// 数据规模每次增大10倍进行测试
// 有兴趣的同学也可以试验一下数据规模每次增大2倍哦:)
for( int x = 1 ; x <= 9 ; x ++ ){

    int n = pow(10, x);

    clock_t startTime = clock();

    long long sum = 0;
    for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
        sum += i;
    clock_t endTime = clock();

    cout << "sum = " << sum << endl;
    cout << "10^" << x << " : "
         << double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC
         << " s" << endl << endl;
}
return 0;

}


**运行结果**

sum = 45
10^1 : 2e-06 s

sum = 4950
10^2 : 1e-06 s

sum = 499500
10^3 : 4e-06 s

sum = 49995000
10^4 : 2.9e-05 s

sum = 4999950000
10^5 : 0.000305 s

sum = 499999500000
10^6 : 0.003049 s

sum = 49999995000000
10^7 : 0.029234 s

sum = 4999999950000000
10^8 : 0.308056 s

sum = 499999999500000000
10^9 : 2.98528 s


### 如果要想在1s之内解决问题

*   O(n^2)的算法可以处理大约10^4级别的数据；
*   O(n)的算法可以处理大约10^8级别的数据；
*   O(nlogn)的算法可以处理大约10^7级别的数据

因为我们刚才的操作很简单，就是简单的加法。所以正常还需要低估一点,再除以10

### 空间复杂度

*   多开一个辅助的数组：O(n)
*   多开一个辅助的二维数组：O(n^2)
*   多开常数空间：O(1):原地数组排序
* 递归调用是有空间代价的：  
    * 在递归调用前的函数压入系统栈中的。

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### 常见的复杂度分析

**O(1)**  
没有数据规模的变化

    // O(1)
    void swapTwoInts( int &a , int &b ){
        int temp = a;
        a = b;
        b = temp;
        return;
    }

**O(n)**  
循环操作次数为c.n。c是个常数不一定为大于1的数

    // O(n) Time Complexity
    int sum( int n ){

        int ret = 0;
        for( int i = 0 ; i <= n ; i ++ )
            ret += i;
        return ret;
    }

**O(n)**  
>循环次数为1/2 * n次  
字符串翻转。abc-cba.第一个和倒数第一个。第2个和倒数第二个  
扫描一半就交换完了：1/2*n次swap操作：O(n)

    void reverse( string &s ){

        int n = s.size();
        for( int i = 0 ; i < n/2 ; i ++ )
            swap( s[i] , s[n-1-i] );
        return;
    }

**O(n^2)**  
选择排序法。O(n^2)  
双重循环: 第一重到n。第二重到n。都是+1.  
所执行的指令数和n^2成比例。

> i = 0;j执行了n-1次 等差数列求和

    (n-1) + (n-2) + (n-3) + … + 0
    = (0+n-1)*n/2
    = (1/2)n*(n-1)
    = 1/2*n^2 - 1/2*n
    = O(n^2) 

    // O(n^2) Time Complexity
    void selectionSort(int arr[], int n){

        for(int i = 0 ; i < n ; i ++){
            int minIndex = i;
            for( int j = i + 1 ; j < n ; j ++ )
                if( arr[j] < arr[minIndex] )
                    minIndex = j;

            swap( arr[i] , arr[minIndex] );
        }
    }

**30n次基本操作：O(n)**  
因为第二层循环是固定的不受n影响的。

    // O(n) Time Complexity
    void printInformation(int n){

        for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
            for( int j = 1 ; j <= 30 ; j ++ )
                cout<<"Class "<<i<<" - "<<"No. "<<j<<endl;
        return;
    }

**o(logn)**  
对有序数组找到中间元素来判断元素和中间元素的关系。  
如果没有查找到，都可以扔掉一半的元素。

![paste image](http://otwbgbfg8.bkt.clouddn.com/1529046302543zdlk7myf.png?imageView/2/w/400/q/100)

>二分查找法

    // O(logn) Time Complexity
    int binarySearch(int arr[], int n, int target){

        int l = 0, r = n-1;
        while( l <= r ){
            int mid = l + (r-l)/2;
            if( arr[mid] == target ) return mid;
            if( arr[mid] > target ) r = mid - 1;
            else l = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

**O(logn)**

> n经过几次“除以10”操作后，等于0？  
> log10n = O(logn)  
> while循环中每次除以10，直到0结束。  
> reverse(s)复杂度：1/2 n次的交换操作。s字符串有多少位，与n一致。

    string intToString( int num ){

        string s = "";
        string sign = "+";
        if( num < 0 ){
            num = -num;
            sign = "-";
        }

        while( num ){
            s += '0' + num%10;
            num /= 10;
        }

        if( s == "" )
            s = "0";

        reverse(s);
        if( sign == "-" )
            return sign + s;
        else
            return s;
    }

**O(nlogn)**

第二重循环就是n  
第一重size+=size就是乘以2.log2n

    // O(nlogn)
    void hello(int n){

        for( int sz = 1 ; sz < n ; sz += sz )
            for( int i = 1 ; i < n ; i ++ )
                cout<<"Hello, Algorithm!"<<endl;
    }

**O(sqrt(n))**  
x从n走一直走到根号n结束

    // O(sqrt(n)) Time Complexity
    bool isPrime( int num ){

        for( int x = 2 ; x*x <= num ; x ++ )
            if( num%x == 0 )
                return false;
        return true;
    }

    bool isPrime2( int num ){

        if( num <= 1 ) return false;
        if( num == 2 ) return true;
        if( num%2 == 0 ) return false;

        for( int x = 3 ; x*x <= num ; x += 2 )
            if( num%x == 0 )
                return false;

        return true;
    }

## 复杂度实验。

我们自以为写出了一个O(nlogn)的算法，但实际是O(n^2)的算法？

如果要想在1s之内解决问题：

*   O(n2)的算法可以处理大约10^4级别的数据；
*   O(n)的算法可以处理大约10^8级别的数据；
*   O(nlogn)的算法可以处理大约10^7级别的数据

前面的常数差距有可能很大。

实验，观察趋势：

> 每次将数据规模提高两倍，看时间的变化

四个不同复杂度的算法。

    namespace MyAlgorithmTester{

        // O(logN)
        int binarySearch(int arr[], int n, int target){

            int l = 0, r = n-1;
            while( l <= r ){

                int mid = l + (r-l)/2;
                if( arr[mid] == target ) return mid;
                if( arr[mid] > target ) r = mid - 1;
                else l = mid + 1;
            }

            return -1;
        }

        // O(N)
        int findMax( int arr[], int n ){

            assert( n > 0 );

            int res = arr[0];
            for( int i = 1 ; i < n ; i ++ )
                if( arr[i] > res )
                    res = arr[i];

            return res;
        }

        // O(NlogN) 自底向上
        void __merge(int arr[], int l, int mid, int r, int aux[]){

            for(int i = l ; i <= r ; i ++)
                aux[i] = arr[i];

            int i = l, j = mid+1;
            for( int k = l ; k <= r; k ++ ){

                if( i > mid )   { arr[k] = aux[j]; j ++;}
                else if( j > r ){ arr[k] = aux[i]; i ++;}
                else if( aux[i] < aux[j] ){ arr[k] = aux[i]; i ++;}
                else                      { arr[k] = aux[j]; j ++;}
            }
        }

        void mergeSort( int arr[], int n ){

            int *aux = new int[n];
            for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
                aux[i] = arr[i];

            for( int sz = 1; sz < n ; sz += sz )
                for( int i = 0 ; i < n ; i += sz+sz )
                    __merge(arr, i, i+sz-1, min(i+sz+sz-1,n-1), aux );

            delete[] aux;

            return;
        }

        // O(N^2) 选择排序
        void selectionSort( int arr[], int n ){

            for(int i = 0 ; i < n ; i ++){
                int minIndex = i;
                for( int j = i + 1 ; j < n ; j ++ )
                    if( arr[j] < arr[minIndex] )
                        minIndex = j;

                swap( arr[i] , arr[minIndex] );
            }

            return;
        }
    }

生成测试用例的代码：

    namespace MyUtil {

        int *generateRandomArray(int n, int rangeL, int rangeR) {

            assert( n > 0 && rangeL <= rangeR );

            int *arr = new int[n];

            srand(time(NULL));
            for (int i = 0; i < n; i++)
                arr[i] = rand() % (rangeR - rangeL + 1) + rangeL;
            return arr;
        }

        int *generateOrderedArray(int n) {

            assert( n > 0 );

            int *arr = new int[n];

            for (int i = 0; i < n; i++)
                arr[i] = i;
            return arr;
        }

    }

### 测试是不是O(n)级别的

    int main() {

        // 数据规模倍乘测试findMax
        // O(n)
        cout<<"Test for findMax:"<<endl;
        for( int i = 10 ; i <= 26 ; i ++ ){

            int n = pow(2,i);
            int *arr = MyUtil::generateRandomArray(n, 0, 100000000);

            clock_t startTime = clock();
            MyAlgorithmTester::findMax(arr, n);
            clock_t endTime = clock();

            cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
            cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;

            delete[] arr;
        }

        return 0;
    }

**运行结果：**

Test for findMax:
data size 2^10 = 1024 Time cost: 5e-06 s
data size 2^11 = 2048 Time cost: 7e-06 s
data size 2^12 = 4096 Time cost: 1.2e-05 s
data size 2^13 = 8192 Time cost: 2.5e-05 s
data size 2^14 = 16384 Time cost: 4.7e-05 s
data size 2^15 = 32768 Time cost: 9.2e-05 s
data size 2^16 = 65536 Time cost: 0.000169 s
data size 2^17 = 131072 Time cost: 0.000431 s
data size 2^18 = 262144 Time cost: 0.000737 s
data size 2^19 = 524288 Time cost: 0.001325 s
data size 2^20 = 1048576 Time cost: 0.002489 s
data size 2^21 = 2097152 Time cost: 0.005739 s
data size 2^22 = 4194304 Time cost: 0.011373 s
data size 2^23 = 8388608 Time cost: 0.019566 s
data size 2^24 = 16777216 Time cost: 0.040289 s
data size 2^25 = 33554432 Time cost: 0.095169 s
data size 2^26 = 67108864 Time cost: 0.201682 s
data size 2^27 = 134217728 Time cost: 0.330673 s
data size 2^28 = 268435456 Time cost: 0.750136 s


>n增加了两倍。时间也大致增加两倍，所以该算法为O(n)级别的。

### 测试是不是O(n^2)

    int main() {

        // 数据规模倍乘测试selectionSort
        // O(n^2)
        cout<<"Test for selectionSort:"<<endl;
        for( int i = 10 ; i <= 15 ; i ++ ){

            int n = pow(2,i);
            int *arr = MyUtil::generateRandomArray(n, 0, 100000000);

            clock_t startTime = clock();
            MyAlgorithmTester::selectionSort(arr,n);
            clock_t endTime = clock();

            cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
            cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;

            delete[] arr;
        }

        return 0;
    }

**运行结果：大约4倍**

Test for Selection Sort:
data size 2^10 = 1024 Time cost: 0.001581 s
data size 2^11 = 2048 Time cost: 0.006221 s
data size 2^12 = 4096 Time cost: 0.021913 s
data size 2^13 = 8192 Time cost: 0.081103 s
data size 2^14 = 16384 Time cost: 0.323263 s
data size 2^15 = 32768 Time cost: 1.32474 s
data size 2^16 = 65536 Time cost: 5.19642 s

>数据量n增加了2倍。时间增加了4倍。

### 测试是不是O(logN)

    int main() {

        // 数据规模倍乘测试binarySearch
        // O(logn)
        cout<<"Test for binarySearch:"<<endl;
        for( int i = 10 ; i <= 28 ; i ++ ){

            int n = pow(2,i);
            int *arr = MyUtil::generateOrderedArray(n);

            clock_t startTime = clock();
            MyAlgorithmTester::binarySearch(arr,n,0);
            clock_t endTime = clock();

            cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
            cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;

            delete[] arr;
        }

        return 0;
    }

复杂度试验

     log2N / logN
    =  (log2 + logN)/logN
    = 1 + log2/logN

当数据规模变大两倍。运行效率增加1.几倍。

**运行结果：**

Test for Binary Search:
data size 2^10 = 1024 Time cost: 1e-06 s
data size 2^11 = 2048 Time cost: 0 s
data size 2^12 = 4096 Time cost: 0 s
data size 2^13 = 8192 Time cost: 2e-06 s
data size 2^14 = 16384 Time cost: 1e-06 s
data size 2^15 = 32768 Time cost: 1e-06 s
data size 2^16 = 65536 Time cost: 1e-06 s
data size 2^17 = 131072 Time cost: 2e-06 s
data size 2^18 = 262144 Time cost: 3e-06 s
data size 2^19 = 524288 Time cost: 1e-06 s
data size 2^20 = 1048576 Time cost: 4e-06 s
data size 2^21 = 2097152 Time cost: 3e-06 s
data size 2^22 = 4194304 Time cost: 3e-06 s
data size 2^23 = 8388608 Time cost: 4e-06 s
data size 2^24 = 16777216 Time cost: 4e-06 s
data size 2^25 = 33554432 Time cost: 1.2e-05 s
data size 2^26 = 67108864 Time cost: 9e-06 s
data size 2^27 = 134217728 Time cost: 1.1e-05 s
data size 2^28 = 268435456 Time cost: 2.4e-05 s


>运行结果，变化小

>顺序查找转换为二分查找，大大提高效率

### 测试是不是O(NlogN)

> 和O(N)差不多

    int main() {

        // 数据规模倍乘测试mergeSort
        // O(nlogn)
        cout<<"Test for mergeSort:"<<endl;
        for( int i = 10 ; i <= 24 ; i ++ ){

            int n = pow(2,i);
            int *arr = MyUtil::generateRandomArray(n,0,1<<30);

            clock_t startTime = clock();
            MyAlgorithmTester::mergeSort(arr,n);
            clock_t endTime = clock();

            cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
            cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;

            delete[] arr;
        }

        return 0;
    }

运行结果：

Test for Merge Sort:
data size 2^10 = 1024 Time cost: 0.000143 s
data size 2^11 = 2048 Time cost: 0.000325 s
data size 2^12 = 4096 Time cost: 0.000977 s
data size 2^13 = 8192 Time cost: 0.001918 s
data size 2^14 = 16384 Time cost: 0.003678 s
data size 2^15 = 32768 Time cost: 0.007635 s
data size 2^16 = 65536 Time cost: 0.015768 s
data size 2^17 = 131072 Time cost: 0.034462 s
data size 2^18 = 262144 Time cost: 0.069586 s
data size 2^19 = 524288 Time cost: 0.136214 s
data size 2^20 = 1048576 Time cost: 0.294626 s
data size 2^21 = 2097152 Time cost: 0.619943 s
data size 2^22 = 4194304 Time cost: 1.37317 s
data size 2^23 = 8388608 Time cost: 2.73054 s
data size 2^24 = 16777216 Time cost: 5.60827 s


> 大约两倍

## 递归算法的复杂度分析

* 不是有递归的函数就一定是O(nlogn)!

### 二分查找的递归实现：  
>左半边或者右半边。无论选那边都只进行一次  
每次减半，递归调用的深度为logn，处理问题的复杂度为O(1)

    // binarySearch
    int binarySearch(int arr[], int l, int r, int target){

        if( l > r )
            return -1;

        int mid = l + (r-l)/2;
        if( arr[mid] == target )
            return mid;
        else if( arr[mid] > target )
            return binarySearch(arr, l, mid-1, target);
        else
            return binarySearch(arr, mid+1, r, target);

    }

> 如果递归函数中，只进行一次递归调用，  
> 递归深度为depth;  
> 在每个递归函数中，时间复杂度为T;  
> 则总体的时间复杂度为O( T * depth )

### 求和递归实现  
>递归深度：n  
时间复杂度：O(n)

    // sum
    int sum( int n ){

        assert( n >= 0 );

        if( n == 0 )
            return 0;
        return n + sum(n-1);
    }

### 计算x的n次方的幂运算

    // pow2
    double pow( double x, int n ){

        assert( n >= 0 );

        if( n == 0 )
            return 1.0;

        double t = pow(x, n/2);
        //奇数
        if( n%2 )
            return x*t*t;

        return t*t;
    }

递归深度：logn  
时间复杂度：O(logn)

### 递归中进行多次递归调用

> 递归树的深度是N

![递归树](//upload-images.jianshu.io/upload_images/1779926-c90e963be8d93294.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/259)

> 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + … + 2^n  
> = 2n+1 - 1  
> = O(2^n)

>指数级的算法：非常慢。n在20左右。30就非常慢
剪枝操作：动态规划。人工智能：搜索树

    // f
    int f(int n){

        assert( n >= 0 );

        if( n == 0 )
            return 1;

        return f(n-1) + f(n-1);
    }

![](//upload-images.jianshu.io/upload_images/1779926-8ab344f992bb997c.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/264)

### 归并排序n=8
> 树的深度是logN
> 当n等于8时，层数为3层。每一层处理的数据规模越来越小  
> 一个分成logn层。每一层相加的总体规模还是n

    // mergeSort
    void mergeSort(int arr[], int l, int r){

        if( l >= r )
            return;

        int mid = (l+r)/2;
        mergeSort(arr, l, mid);
        mergeSort(arr, mid+1, r);
        merge(arr, l, mid, r);
    }

## 均摊复杂度分析 Amortized Time analysis

>一个算法复杂度相对较高，但是它是为了方便其他的操作。  
比较高的会均摊到整体。

### 动态数组（Vector）

    template <typename T>
    class MyVector{

    private:
        T* data;
        int size;       // 存储数组中的元素个数
        int capacity;   // 存储数组中可以容纳的最大的元素个数

        // O(n)：一重循环。
        void resize(int newCapacity){

            assert( newCapacity >= size );
            T *newData = new T[newCapacity];
            for( int i = 0 ; i < size ; i ++ )
                newData[i] = data[i];
            delete[] data;

            data = newData;
            capacity = newCapacity;
        }

    public:
        MyVector(){

            data = new T[100];
            size = 0;
            capacity = 100;
        }

        ~MyVector(){

            delete[] data;
        }

        // Average: O(1)
        void push_back(T e){

            //动态数组
            if( size == capacity )
                resize( 2* capacity );

            data[size++] = e;
        }

        // O(1)
        T pop_back(){

            assert( size > 0 );
            size --;

            //size是从0开始的。也就是0号索引size为1.
            //所以要拿到最后一个元素，就得size-1
            return data[size];
        }

    };

![](//upload-images.jianshu.io/upload_images/1779926-81627219ff59697b.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/442)

均摊

第n+1次会花费O(n)但是会把这n分摊到前面n次操作。也就是变成了O(2)  
还是常数O(1)级的。  
resize是有条件的，而不是每次都调用。

    int main() {

        for( int i = 10 ; i <= 26 ; i ++ ){

            int n = pow(2,i);

            clock_t startTime = clock();
            MyVector<int> vec;
            for( int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
                vec.push_back(i);
            }
            clock_t endTime = clock();

            cout<<n<<" operations: \t";
            cout<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<" s"<<endl;
        }

        return 0;
    }

1024 operations: 2.5e-05 s
2048 operations: 2.9e-05 s
4096 operations: 7.4e-05 s
8192 operations: 0.000154 s
16384 operations: 0.000265 s
32768 operations: 0.000391 s
65536 operations: 0.001008 s
131072 operations: 0.002006 s
262144 operations: 0.003863 s
524288 operations: 0.005842 s
1048576 operations: 0.014672 s
2097152 operations: 0.029367 s
4194304 operations: 0.06675 s
8388608 operations: 0.124446 s
16777216 operations: 0.240025 s
33554432 operations: 0.486061 s
67108864 operations: 0.960224 s


> 基本满足2倍关系

### 删除元素缩小空间。

![删除](//upload-images.jianshu.io/upload_images/1779926-1368297ee0befad3.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/400)

每次普通删除时间复杂度都为O(1)

只剩下n个。这次resize n 删除这个元素为1

![临界点震荡无法均摊](//upload-images.jianshu.io/upload_images/1779926-027e20a3498c9b28.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/425)

> 重复这个过程，无法均摊，复杂度为O(n)

> 当元素个数为数组容量的1/4时，resize.为再添加元素留出余地

    template <typename T>
    class MyVector{

    private:
        T* data;
        int size;       // 存储数组中的元素个数
        int capacity;   // 存储数组中可以容纳的最大的元素个数

        // O(n)
        void resize(int newCapacity){

            assert( newCapacity >= size );
            T *newData = new T[newCapacity];
            for( int i = 0 ; i < size ; i ++ )
                newData[i] = data[i];
            delete[] data;

            data = newData;
            capacity = newCapacity;
        }

    public:
        MyVector(){

            data = new T[100];
            size = 0;
            capacity = 100;
        }

        ~MyVector(){

            delete[] data;
        }

        // Average: O(1)
        void push_back(T e){

            if( size == capacity )
                resize( 2* capacity );

            data[size++] = e;
        }

        // Average: O(1)
        T pop_back(){

            assert( size > 0 );
            T ret = data[size-1];
            size --;
            if( size == capacity/4 )
                resize( capacity/2 );
            //resize之后会把data[size]元素抹掉
            return ret;
        }

    };

**运行结果**

2048 operations: 4.3e-05 s
4096 operations: 6.3e-05 s
8192 operations: 0.000107 s
16384 operations: 0.000316 s
32768 operations: 0.000573 s
65536 operations: 0.001344 s
131072 operations: 0.001995 s
262144 operations: 0.004102 s
524288 operations: 0.008599 s
1048576 operations: 0.014714 s
2097152 operations: 0.027181 s
4194304 operations: 0.063136 s
8388608 operations: 0.126046 s
16777216 operations: 0.242574 s
33554432 operations: 0.456381 s
67108864 operations: 0.96618 s
134217728 operations: 1.76422 s



### 均摊复杂度

*   动态数组
*   动态栈
*   动态队列

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