有趣的Voronoi图世界

Voronoi 图 (也称为 Dirichlet 镶嵌或 Thiessen 多边形) 在自然界中随处可见。你可能已经遇到过成千上万次，但或许没有用这个名字来称呼它们。Voronoi 图虽然简单，但具有惊人的特性，这些特性在各个领域都有应用，从地图学、生物学、计算机科学、统计学、考古学到建筑和艺术。

假设你有 n 个点散布在一个平面上，这些点的 Voronoi 图会将平面划分为恰好 n 个单元格。这会产生一个完全覆盖整个平面的镶嵌图案。例如，你可以看到，在图 1 中，我绘制了 100 个随机点及其对应的 Voronoi 图。你可以看到，每个点都被一个单元格紧紧包围，单元格的边界正好是两个或多个点之间的等距线。换句话说，单元格内的所有区域都比到其他任何点更接近单元格内的那个点。

图1：Voronoi图
来源：作者自绘

自然中的沃罗诺伊(蜂窝状)图案

由 Voronoi 图形生成的图案在自然界中非常常见。在图 2 中，我制作了一个小拼贴，展示了一些自然界中存在的类似 Voronoi 的图案。从洋葱皮中的微小细胞，到木菠萝的外壳和长颈鹿的皮肤斑纹，这些图案到处都能看到它们！

他们无处不在的第一个原因是它们形成了高效的形状。正如我们之前提到的，Voronoi图完全填充了平面：因此，所有空间都被利用了。这在有限空间内最大限度地利用每一寸地方非常方便，比如肌肉纤维或蜂窝。其次，Voronoi图是当从各点以相同速度生长时自发形成的一种模式（见图3）。例如，这可以解释为什么长颈鹿会有这样的图案。长颈鹿胚胎中散布着分泌黑色素的细胞，这些细胞在长颈鹿皮毛上形成斑点。在发育过程中，这些细胞释放黑色素，导致斑点向外扩张。有兴趣的读者可以查看这篇论文（https://www.iro.umontreal.ca/~poulin/fournier/papers/Walter-2001-ISP/Walter-2001-ISP.pdf），作者使用Voronoi图来模拟动物皮毛上的斑点，以进行计算机渲染。

图2：Voronoi图案在自然界中随处可见。
（从左上到右下：肌肉的横截面，长颈鹿的皮毛花纹，蜻蜓的翅膀，大蒜的鳞茎，玉米穗，树上的木瓜果。）
图片来源：Nephron，Nirav Shah，Karolina Grabowska，StarGlade，Mali Maeder，Abi Jacob

图3：从这些分散的点向外恒定扩展可以得到Voronoi图，
来源：Wikipedia

在建筑和艺术中可以看到的沃罗诺伊图案

或许是因为它们自然的外观，或者仅仅是由于它们令人着迷的随机性，Voronoi图案有意被应用在人造结构中。一个建筑例子是2008年北京奥运会期间用来举办水上运动的“水立方”（Water Cube）。它的天花板和立面（图4）上都采用了Voronoi图案。选择Voronoi图案是因为它们让人联想到气泡。这种类比在夜晚尤为明显，当整个立面被蓝色照亮时，仿佛活了起来。

图4：北京的水立方（冰立方）
图片来源：Wikipedia, Arne Müseler

但是中国人欣赏 Voronoi 图案的时间肯定比这座建筑还要早。宋代的官窑和哥窑瓷器以其独特的裂纹釉闻名。陶瓷在冷却过程中容易开裂，但官窑和哥窑的裂纹却是有意为之的。这些瓷器因其独特的美学价值而备受追捧，使每件作品都独一无二。这些图案的形成通常被理解为裂缝依次影响釉面上较小区域的过程。这个过程被称为“层级开裂”，常常会产生类似于 Voronoi 图的裂纹图案，这种图案。因此，Voronoi 图常被用来模拟这些裂纹行为（参考文献：[1]）。迄今为止，这种类似 Voronoi 的裂纹图案是瓷器中最常被模仿的设计之一（图5）。

图5：官窑瓷器和哥窑瓷器
——来源：Daderot，Johnbod
南宋时期，带官釉的陶器

Voronoi图在图形艺术中也很常见，用于创建“抽象”图案。我认为它们非常适合做背景图。例如，我通过随机生成点并构建Voronoi图来制作这张帖子的缩略图。然后，我根据每个点到随机选择的参考点的距离来给每个单元着色（图6）。可以使用这种方法生成无数的抽象背景图。

图6：彩色Voronoi图（一种几何分划）
来源：（作者提供）

迄今为止，我们展示了一个简单的二维Voronoi图。然而，这样的结构可以推广到一个n维空间。假设P={p1,p2，…,pm}是我们这样的n维空间中的m个点的集合。那么，该空间可以被划分为每个Voronoi胞腔Vi，包含所有比到其他任何点都更接近_p_i_的_R^n_中的点。

函数 d(x,y) 表示其两个变量之间的距离。通常使用欧氏距离（即 l2 距离）。

不过，Voronoi 图也可以用其他距离函数来计算。例如，图8就是一个用曼哈顿距离（也就是城市街区距离）计算出来的 Voronoi 图。两点间距离若需遵循规则网格（比如曼哈顿的城市街区），曼哈顿距离就是这种情况下两点之间的距离。这样的 Voronoi 图看起来会更‘方正’。

图 7：欧几里得距离（Euclidean distance）
来源：Wikipedia

图8：对于同一组点，使用欧氏距离（左）和曼哈顿距离（右）的Voronoi 图形的比较
来源：Wikipedia

欧几里得距离是科学应用中最常用的 Voronoi 图距离度量。它还具有生成凸单元的优势。换句话说，在单元内的任意两点之间画一条直线，这条直线将完全位于单元内。

最后值得注意的是，Voronoi 图与 k-最近邻算法（k-NN）密切相关——这是一种在分类、回归和聚类问题中非常流行的算法。该算法使用训练数据集中最接近的 k 个样本来进行值预测。因为 Voronoi 图将空间划分成包含每个“种子点”最近点的多边形，因此 Voronoi 单元的边界线恰好对应于简单的 1-NN 问题的决策边界。

如果你将每个 Voronoi图 中的点与其相邻单元格中的点连接起来，你将得到一个称为 Delaunay三角网 的图。从数学角度来说，Delaunay三角网是Voronoi图的dual graph。在下面的图中，一组点被用来绘制了Voronoi图（黑色）和Delaunay三角网（灰色）。

图9：具有Delaunay三角剖分的Voronoi图
来源：作者绘制

德劳内三角剖分和 Voronoi 图一样令人印象深刻。正如其名，它会生成一系列连接这些点的三角形。这些三角形具有这样的特性：如果在一个三角形的所有顶点上画一个圆，圆内不会有其他被连接的点（见图 10）。此外，它还使得三角形中的最小角尽可能大。因此，它倾向于避免形成非常细小角度的三角形。

图10：德劳内三角形的构建确保没有点位于每个三角形的外接圆内
来源：Wikipedia

这些特性使其在基于一组点生成表面和对象模型时非常有用。例如，Delaunay三角剖分被用来为有限元法（FEM）生成网格、构建用于计算机动画的3D模型以及在地理信息系统（GIS）分析中建模地形。

Lloyd算法 是一种与Voronoi图相关的实用算法。该算法通过反复交替构建Voronoi图并找到每个单元的几何中心（如图11所示）。每次迭代时，算法都会使点彼此分散，并生成更加均匀的Voronoi单元。

图11：Lloyd的松弛算法步骤如下
来源：作者

经过几次迭代后，细胞将呈现出更“圆润”的外观，点的分布也会更加均匀。如下面的图所示，我绘制了 Lloyd 算法的前 30 次迭代，这些点是随机选取的。对于每个点，我还记录了它们的初始位置（灰色空心圆），以便更好地追踪每个细胞的移动。随着迭代次数的增加，图会收敛到一个稳定的 Voronoi 图，在该图中每个种子也是其对应单元的质心——也称为质心 Voronoi 图。有趣的是，在二维空间中，Voronoi 单元会逐渐趋向于形成六边形，因为它们提供了在平面上排列形状的最有效方式。正如蜜蜂建造蜂巢时所验证的，六边形细胞有两大优势：1）它们确保单元之间不留空隙（即铺满平面），2）六边形能提供最大的面积与周长比。这一所谓的蜂巢猜想，数学家用了两千多年才得以证明。

图12: Lloyd’s算法的30次迭代
图片来源：作者制作

在数据科学中，Lloyd 算法是 K-均值聚类的基础之一——这是一种最常用的聚类算法。K-均值聚类通常从在空间中随机选取 k 个“聚类中心”起始。然后，通过交替执行以下两个阶段，将数据点分组为 k 个簇：1）将数据点分配给最近的“聚类中心”（这相当于为每个聚类中心构建一个 Voronoi 分割并检查哪些点位于该单元格内）；2）通过计算每个单元格内点的平均来更新聚类中心（如图 13 所示）。

如图13所示：k-均值聚类法
来源：Wikipedia:

除了数据科学之外，Lloyd 算法还可以应用于多种应用场景。例如，在损失数据压缩算法（如Lloyd-Max算法）中非常常见。当需要均匀分布的随机点时，如生成平滑网格，该算法也非常有用。例如，可用于生成来自 Delaunay 三角剖分的平滑网格，用于图像的抖动处理，或作为视频游戏中程序化地图生成的基础。

可以通过一个接一个地构建每个单元来构造 Voronoi 图。如果将连接每点对的线段的中垂线延伸，就可以得到 Voronoi 单元的轮廓（图 14）。然而，这种方法效率很低。考虑到有 0.5(n-1)n 对点组合，随着点数量的增加，算法复杂度会呈二次增长。

图14：构建Voronoi单元
图片来源：作者

更高效的替代方法已经被提出。例如，Sweep line算法通过依次使用二叉搜索树和优先队列操作逐步构建Voronoi单元（图15）。关于此算法的一个很好的描述可以在这里找到here。另一种构建Voronoi图的方法是先构造Delaunay三角剖分。一旦获得三角剖分，将三角形边的中垂线延伸即可得到Voronoi图。构建Delaunay三角剖分时并不需要考虑每一对点。例如，一种有效的方法是将点投影到更高维度的抛物面上。将凸包重新投影回原始空间即可得到Delaunay三角剖分。

图15-：扫描线法
出处：Wikipedia（来源：维基百科）

关于不同算法计算 Voronoi 图及其复杂度的讨论可以在这里找到 here，这里，以及 这里。新算法不断被提出以在各种情形下提高计算效率（比如：Yan 等人 2011，Qin 等人 2017）。还有一些技术可以在常量时间内生成近似 Voronoi 图（比如：跳跃洪水算法）。

• 这篇文章讲述了约翰·斯诺如何使用 Voronoi 图来展示伦敦 1854 年霍乱爆发期间水井与霍乱传播之间的联系。
• 阿米特·帕特尔有一个关于游戏开发的出色博客。我强烈推荐他关于使用 Voronoi 图生成程序地图的文章。
• 大卫·奥斯汀的这篇帖子对计算 Voronoi 图的扫描线算法进行了很好的解释。
• 贾森·戴维斯的这张漂亮的地图是基于世界各地机场位置的 Voronoi 图。
• 空间镶嵌：Voronoi 图的概念与应用 是关于 Voronoi 图的圣经。如果你对 Voronoi 图有任何疑问，这里你一定能找到答案。
• 文森特·勒加特的这些幻灯片包括了不同构建算法的精美插图。
• Voronoi 图通常用于模拟森林中的树木分布（例如：阿贝拉纳斯等人，2016，波勒等人，2018）。
• Voronoi 图可以用来规划机器人的路径。可以参考这些文章：文章1，文章2。
• Voronoi 图有成千上万的应用。从模拟森林中的树木分布到规划机器人的路径。在这篇文章中，我仅仅触及了表面。这里还有一些有趣的实际应用链接：链接1，链接2，链接3，链接4，链接5。

本文最初发表在这里：这里：