四维空间的沉浸式探索之旅

基督超立方体画。萨尔瓦多·达利的画，背景及3D效果由作者添加。——请使用红蓝立体眼镜观看此图。

要在我们的三维世界中穿越到第四维度，我们必须观察这些我们想象中的四维物体的阴影（数学上的投影），这些物体超出我们视觉感知范围。

此外，因为你是在一个只有二维的屏幕上阅读这篇文章，我们将通过特殊的眼镜生成立体3D效果，帮助你体验到第三个维度。这些红-青色或“Anaglyph”眼镜，很容易通过互联网购买（或自制），通过这种眼镜，可以生成立体3D效果，帮助你感受到第三个维度。

观看这篇文章的图片所需的红蓝立体眼镜。

尝试一下达利的《基督像》（本文第一张图）所用的3D眼镜。不戴这些眼镜，你看这篇文章会感觉像是在普通的平面空间里迷失了方向。

我们从上面那张图片开始并非巧合。达利对数学和艺术非常感兴趣，如你可以在一篇精彩的《想象的宏大方程式：萨尔瓦多·达利的数学超现实主义视角》文章中读到的。

“确实有四个维度，我们称为空间的三个维度，还有一个时间维度。”

这并不是爱因斯坦相对论的介绍，而是H. G. Wells 的时间旅行者在他著名的《时间机器》（1895）一书中，向热切的听众所做的解释。他接着说：

“一些哲学家曾经问过为什么是三个维度而不是其他数量的维度，为什么不增加一个与其它三个方向垂直的维度？甚至尝试构建四维几何。”

在《普拉特纳的故事》（1897年）中，威尔斯明确地展示了这一现象：在四维世界中的旋转效果。可怜的普拉特纳先生，在幸运地回到了我们这个世界后，他所有的内脏都颠倒了。

但对四维立方体（即“超立方体”）的真正准确且富有想象力的描述是由罗伯特·海因莱恩（罗伯特·A·海因莱因）（他曾学习过数学和物理）在他著名的短篇小说《歪屋》（《惊奇故事》杂志，1941年2月刊）中完成的。他和他的插画家施奈曼一起展示了通过按照“超立方体”建造的房子所产生的奇异效果。这里“歪屋”是因为四维立方体的奇特结构导致房子看起来歪斜。下面是一段与海因莱因笔下的冒险建筑师的对话：

“我在思考第四维度，像长度、宽度和厚度这种维度。从节约材料和便于布局的角度来看，这是最好的选择。更别说节省地面空间了——现在可以用原来一个房间的土地盖八个房间。就像一个超立方体一样——”

“四维方块是什么？”

“四维超立方体就像立方体是三维的一样，而正方形则是二维的。”

“这才是四维房屋的伟大之处，每个房间都完全暴露在外，但是每面墙都连接两个房间，而一间一室大小的基础就能支撑一个八间房的房子。这确实是个革命性的设计。”

我建了一座四维展开的立方体形状的房子

施奈曼的插图说明了他想表达的内容。

海因莱因大胆的四维房屋建筑商向吃惊的客户解释他的意图（左）。右边的房子以超立方体的展开图形式建成。附注：作者添加了颜色。

最后，有一部电影——名为立方体2：超立方体（加拿大，2002年）——讲述七个不幸的实验受害者被困在一个超立方体中，他们必须逃离致命陷阱的故事。有时他们通过错误的门进入与时间相关的第四维度，导致他们回到过去变成了老年人。在一个计算机图形项目中，我尝试通过视觉来展现这种宏大和复杂性，下面的图像是我项目的一部分，请查看。

一个悬浮于空中的超立方体结构。—作者创作的，使用红绿立体眼镜观看。

好了，开始了。如下面的图片所示，我们从一维物体，也就是一条线开始，以四维物体，也就是超立方体或四维正方体结束。这些数字（2,4,6,8）代表每个维度对象的边界数量（按比该维度低一个维度来计算）。

从一维（一条线）到四维（一个四维超立方体，又称四维方体或超立方体）

• 一条线（一维对象）由两个零维对象（即点）构成。
• 一个方形（二维对象）由四个一维对象（线）构成。它可以绕一条线（轴）旋转。
• 一个立方体（三维对象）由六个二维对象（面）构成。它可以绕一条线（轴）旋转。
• 一个四维立方体（四维对象）由八个三维对象（立方体）构成。它可以在一个平面上旋转。

你可能想知道图片4中的八个立方体在哪里。编号1的是一个大的立方体，显然（但实际上并非如此）似乎拥抱着其他的立方体。由于立体投影，其中六个看起来像截顶的金字塔，内侧的那个则像普通的立方体。

这个四维超立方体称为四叠体；源自希腊语téssara（四）和aktís（光线），意指从每个顶点到其他顶点的四条线段。

因为，如文章开头所解释的，纸和屏幕只有两个维度，我们不得不使用一种技巧来表示对象3和4。这种技巧叫做投影。主要的投影方法有两种。

(a) 平行投影方法，如图3所示。

（b）这里使用的是立体投影，这个过程是这样的：

光线从一个光源（顶部，）将一个3D立方体投影为一个2D图形。

用 stereographic 投影来表现四维超立方体，也就是四维立方体，也叫正八胞体，你可以看到如图4或下图所示的结果。当光源无限远时，就比较难画出来。下面就是这两种投影。

左： stereographic 投影，右：平行投影的超正方体。—请佩戴红绿3D眼镜观看此图。

另一种表示几何对象的方法是通过其“展开图”，其中将物体展开。你小时候可能用过这种平面展开图来制作一个正方体，就像左边的图片一样。同样，你也可以为超正方体这样做，就像右边的图片一样。

左：一个立方体的展开图（6个面），右：一个四维超立方体（由8个立方体组成）的展开图，这是达利在他的画中使用的。如果你将展开图折叠起来，就能得到实体形状，但对于四维超立方体来说，这可没那么容易——你得穿过第四维度来折叠它！

我们现在可以来看看一些沉浸式的视觉仿真了！

提醒大家，所有视觉化内容都需要用红绿眼镜观看。

首先，让我们从不同的角度检查这个立体图和并行投影的超正方体，所有的计算机视觉化都是由作者编程的。

不同视角图的四维超正方体。—请通过红绿立体眼镜观看。

在接下来的电影视觉化中，我们将四维超立方体围绕其六个平面（从_xy_到_zt_轴）进行旋转。

你会发现一个非常奇怪的事实：有时身体似乎会交叉，特别是在提到第四个坐标（这里用 t 表示）的时候！

超立方体绕其六个轴旋转。注意它看起来与自身相交，但实际上并没有！—— 请使用红蓝眼镜观看。

终于，在超立方体之外的空间，你有机会观察一下另外三种正四维多胞体。

这里是一个五胞体（5-胞体），它是四面体的一个扩展。它是四面体（四面体：https://baike.baidu.com/item/四面体）的扩展。

不同视角的五胞体视图。— 请使用红蓝立体眼镜观看。

这里你可以看到一个16-胞体的计算机视觉化展示。

16细胞体的不同视图。— 需使用红蓝眼镜观看的可视化。

下面是24-胞体的计算机生成图像：

[24-胞体](https://en.wikipedia.org/wiki/24-cell):

24-胞体的不同视图。—— 请使用红蓝立体眼镜观看。

我也没有敢编程最后两个正四维多胞体[120-胞体和600-胞体]，因此我从维基百科上找到了图片。

一个由120个胞体组成的结构（120-胞体）。来源：Wiki Commons

六百细胞。来源：Wiki Commons，图片。

探索完四维空间后，别忘了回到我们平凡无奇的三维世界！