在这篇文章中，我们将探讨方向查找和信号恢复中的巴特利特和卡彭波束形成器。我们还将了解到为什么在某些情况下更多的噪声可能是有益的，而相关信号可能对算法产生负面影响。我们将亲眼看到波束形成技术如何显著改进了简单的方法。这种方法适用于任何使用传感器阵列或网络的场景，特别是在机器人技术领域。
这是系列文章的最后一篇，介绍波束形成器这一主题，也是最有趣的一篇，因为我们会直接进入代码，通过正弦波进行探索。
- 波束成形入门 第1部分 — 延迟与求和波束成形器
- 波束成形入门 第2部分 — Bartlett 波束形成器
- 波束成形入门 第3部分 — Capon 波束成形器
- 这一部分介绍波束成形入门第4部分 — 方位定位与信号恢复
波束成形器简介tl;dr: 一个很好的解决办法是用Capon准则进行角度估计，用Bartlett方法重建信号。
这篇帖子涉及Bartlett和Capon波束形成器技术，如果你想了解更多，请参阅上面的帖子。在这里，我们将仅总结将在Python中实现的有用数学部分。
信号模型（信号模子）我们将使用以下通用信号模型
广义波束成形器是一个复数向量_w_与阵列响应X相乘，H 上标表示共轭转置，因为我们处理的是复数，如下所示。
巴特勒谱图如下所示，该计算用于确定信号的到达方向。产生最大响应（(P \varphi)）的 steering 矢量_v_对应于信号的到达方向θ。然后可以将_v_作为权重向量插入到通用波束形成器中取代w，来估计原始信号。
Capon频谱（零变形最小方差响应）如下所示：请注意，它需要我们对样本矩阵进行求逆，这使得它在计算上更为复杂，比计算巴特勒特频谱更复杂。
类似于巴特莱特，上述公式将允许我们确定由指向矢量 v 描述的最有可能的到达角度。我们使用这个指向矢量来计算卡朋波束形成器 w，并通过将 w 代入广义波束形成器方程来估计原始信号。
在我们开始之前，让我们分享一些实用的建议，帮助你在实际数据上成功使用这些波束形成器。
前向后均值前向后向平均法是一种技术，已被实验证明可以降低信号到达方向的估计误差，并减少信号之间的相关性。它通过减少由相关信号导致的奇异点来实现这一点。有关详细信息，请参阅此页面的第76页，在这里我们将展示如何计算前向后向样本相关矩阵。
其中，它是指复数共轭，而 J 是交换矩阵。
对角线加载法对角线加载是指在矩阵的对角线上添加微小扰动 σ，以减少其奇异性并确保其可逆性。这在计算Capon谱时尤为重要，因为在计算Capon谱时需要对样本相关矩阵求逆。计算矩阵逆时几乎总是会用到这种方法，几乎无理由不使用这种技术。
让我们直接开始，只看重点部分，不会包含所有的细节，只展示关键部分，完整代码可以在GitHub上查看。
实施信号模型这两种方法之间都存在权衡点，我们将探索这些权衡点，并确定其中一个波束成形器更优。
在理论信号模式下（以及在过去的教程中），我们使用了均值为零的随机向量作为信号，但在本文里我们将使用正弦波，因为它们更有趣味。这里是我们将用于比较的基本信号模型的实现。
# 输入参数
SNR = 15.0 # 假设所有源信号的信噪比相同（最大值：100，最小值：0）
T = 10000 # 采样数量
M = 20 # 阵元数量
D = 5 # 源信号数量
THETA_DEG = [-10, 0, -20, 25, 50] # 到达角
SOURCE_POWER = np.array([23, 18, 14, 17, 20]) # 功率（dB）
# 正弦波参数（如有需要可以修改）
fs = 1e6 # 采样频率（Hz）
t = np.arange(T)/fs # 时间向量（秒）
f_tone = 0.01*1e6 # 频率
omega = 2*np.pi*f_tone # 弧度
c = 3e8 # m/s
lmbda = c/f_tone # 米
# 衍生参数
SOURCE_POWER_WATT = db2watt(SOURCE_POWER)
NOISE_POWER_DB = SOURCE_POWER.mean() - SNR
NOISE_POWER_WATT = db2watt(NOISE_POWER_DB)
SOURCE_THETAS = [theta*np.pi/180 for theta in THETA_DEG]
# 构建阵列的响应
V = np.vstack([steering_vector(theta, M) for theta in SOURCE_THETAS]).T
# 或随机复正弦源
F = random_complex_sinusoidal_source(D, f_tone, t, fs, SOURCE_POWER_WATT)
N = NOISE_POWER_WATT * np.random.randn(M, T)
# 构建阵列的响应
X = V @ F + N我们的目标信号是-10°方向，功率水平为23 dB的信号 (所有其他信号都被视为干扰)，下图同时绘制了该信号及其阵列响应 (即每个阵列单元收到的信号)。
图1. 左：期望的原始信号。右：对源信号和干扰信号的阵列响应。来源：原文作者。
下面我们来计算样本相关矩阵（样本协方差矩阵的相关版本），以及它的逆。
Rxx = (X @ np.conj(X).T) / X.shape[1] # 计算自相关矩阵
Rxx_inv = np.linalg.pinv(Rxx_fb) # 计算Rxx的伪逆矩阵(Note: np.conj 表示取复共轭，np.linalg.pinv 表示求伪逆。变量 X 和 Rxx_fb 在上下文中有特定含义，建议在首次出现时定义。)
我们来看看做得怎么样。注意：我随机调整了信号参数，你可能会得到略有不同的结果。
图2. 基本信号模型的角度频谱。来源：本文作者。
还算可以，我们预计Capon谱能够获取所有信号，相比之下，Bartlett在方向测定方面的表现明显较差。这是来自-10°、23 dB处信号恢复的情况。
图3. 巴特利特（左）和卡朋（右）波束形成器（Beamformers）的恢复信号。来源：本文作者。
还算可以，这意味着如果我们能找到到达角（AoA），就可以恢复信号，均方误差（MSE）如下：
bartlett_mse, capon_mse
# 21.021789879679755, 14.797694238550449我们现在有了基础模型，我们来看看去掉数组噪声会有什么不同。
噪声和对角加载的效果在大多数情况下，我们想要消除噪音。但如果你知道有些噪音其实是好的，会怎么样呢？让我们看看当我们去除数组噪声会发生什么，我们只需要从模型中去除它就可以了。
X 等于 V 和 F 的某种操作结果加上 N。
现在我们来看看这些东西：
图4. 无噪声信号模型的角度频谱。作者提供，如图所示。
巴特莱特谱系表现稳定（但仍然不能捕捉到所有的信号），而科apon谱系已经严重受损。让我们看看添加对角线加载能否改善这种情况。
Rxx = (X @ np.conj(X).T) / X.shape[1]
# 如果使用前向后向平均法
J = np.fliplr(np.eye(M)) # M是矩阵的行数
Rxx_fb = 0.5 * (Rxx + J @ np.conj(Rxx) @ J)
# 如果采用对角线加载
sigma_l = 1e-6
Rxx_inv = np.linalg.pinv(Rxx + sigma_l * np.eye(Rxx.shape[0])) # pinv表示矩阵的伪逆我们现在来看看在每种情况下逆矩阵的规模是怎样的。
图5. 逆自相关矩阵图。左：未对角线加载。右：已对角线加载。（来源：作者）
当我们加入对角线加载时，逆矩阵中会出现一条漂亮的对角线功率分布。现在我们来看看角度频谱是怎样的。
图6. 无噪声信号模型的对角加载角度光谱。（来源：作者）
好多了，真是这样。我们已经看到去除数组噪声对性能有害，尤其是对Capon (卡朋特)，因为这种噪声严重扰乱了样本相关矩阵的逆。值得庆幸的是，假设所有元素都有数组噪声是一个非常现实的假设，我们可以通过添加对角线加载来确保这种噪声的存在，从而减少矩阵的奇异程度。
高度关联的信号这个案例探讨了高度相关的信号的影响，我们修改了模型，不再随机改变信号参数。相反，我们将从不同角度发送相同的信号。这就是模型的更新说明。
F = 复指数信号源(f_tone, t, SOURCE_POWER_WATT)
N = NOISE_POWER_WATT * 随机生成复数((M, T))
# 构建阵列响应
X = V @ F + N注意，高度相关的信号会相互影响，导致Capon谱估计出现问题。这是因为Capon方法将信号视为单一信号源，而不是多个信号源，这样我们就违背了模型的假设。
这意味着Capon遇到了多径传播的问题，多径传播是一种常见的现象，即同一信号通过多种路径传送到阵列，从而产生多个延迟和衰减的信号副本。
我们将使用对角线和加载以及前向后向平均法，你自己就能看出来前向后向平均法对Capon重建提供了一点点改进，但这关系不大，因为在这里Bartlett重建好得多。
Rxx = (X @ np.conj(X).T) / X.shape[1]
# 如果使用前向后向平均法
J = np.fliplr(np.eye(M)) # 注意：这里生成的是M维的单位矩阵
Rxx_fb = 0.5 * (Rxx + (J @ np.conj(Rxx) @ J))
# 如果使用对角加载法
sigma_l = 1e-6
# 计算样本相关矩阵的逆矩阵
Rxx_inv = np.linalg.pinv(Rxx_fb + sigma_l*np.eye(Rxx_fb.shape[0])) # 注意：这里的sigma_l是小数点后六位的正数，用于防止矩阵病态我们来看看情况咋样：
图7. 相关信号模型的角度频谱。来源：作者。
现在我们来看看重建的情况：
图8. （左）Bartlett 和（右）Capon 恢复信号。作者。
恢复后的卡朋信号表现不佳。尽管卡朋方法仍然提供更好的角度估计，但它在信号高度相关时难以恢复这些信号。高度相关的信号在实际中很常见，因此，我们需要找到合适的方法来应对这种状况。
最后不可否认，对于角度估计，Capon 方法具有诸多好处，但在存在相关信号的情况下，其信号恢复性能很差。一个好办法是使用 Capon 方法进行角度估计，用 Bartlett 方法重构信号。 这样就能避免相关信号干扰我们的估计。
参考文献- Van Trees, H. L. (2002). 最优阵列处理（检测、估计和调制理论第四部分）. Wiley.
- https://pdxscholar.library.pdx.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=5344&context=open_access_etds
共同学习，写下你的评论
评论加载中...
作者其他优质文章
