你能回答这个著名的面试题吗？

有100名乘客排队（以随机顺序）登机。飞机座位完全预订，意味着正好有100个座位可用。由于技术故障，第一位乘客随机挑选了一个座位，每个座位被选中的概率都一样。其余的乘客会按照以下方式登机：如果他们的座位是空的，他们会坐在那个座位上；否则，他们会随机选择一个空位。最后一名乘客坐到他们自己座位上的概率是多少？

这个问题被称为“100座飞机座位问题”，是一个面试中常见的问题，因为它测试了候选人对概率、递归和解决问题的技巧的理解。它经常出现在需要较强定量分析能力的工作面试中，尤其是像谷歌、脸书、亚马逊这样的科技公司，以及对冲基金和投资银行等金融公司。

你能找到正确答案并解释它是怎么得出来的吗？在看答案之前，试着自己解答这个难题吧！

DALL-E 创建的100座飞机问题的插画。

令人惊讶的是，结果正好是 1/2。让我们来看看为什么。

首先，让我们简化座位的标签。通常，飞机座位会有复杂的标签，比如“22A”或“47G”，但是我们这里可以将座位标签简化为1到100。第1位乘客被安排在第1个座位，依此类推。

根据题目，乘客1随机挑选一个座位（可能是座位1）。比如说乘客1坐在j¹座位（其中1表示这是乘客1所坐的座位）。接下来是乘客2，他有两种选择：

• (a) 如果第2个座位还是空的（即 j¹≠2），第2位乘客就会坐到第2个座位上。
• (b) 如果 j¹=2（表示第1位乘客坐了第2位乘客的座位），第2位乘客就得随机找个位子坐。

现在，情况（a）实际上简化了问题，因为少了一名乘客和一个座位。第一位乘客已经随机选了座位，但同样的逻辑仍然适用：从乘客3开始，每个乘客要么坐在自己的座位上，要么随机选择一个，如果他们的座位已被占用。因此，情况（a）所做的唯一事情是将问题简化为少了一名乘客的问题。

另一方面，在情况（b）中，座位1和座位100仍然可用，而现在乘客2有一个随机选择，其中包括这两个选项。虽然还有其他可用座位（座位3到99），但它们不会像座位1和100那样显著地影响结果。为什么呢？如果乘客2坐在例如座位42，那么直到乘客42为止的所有其他乘客都可以坐在他们指定的座位上。当轮到乘客42时，同样的情况会再次出现：他们的座位被占了，但座位1和43到100仍然可用。再一次，我们回到了情况（b），但是需要分配的乘客数量会减少。无论经过多少次这样的情况，座位1和100仍然可用。因此，我们将主要关注这两个关键位置。

最关键的是，不管中间乘客如何选择，最终会有人坐到1号或100号座位。这时，有两种可能的情况：

1. 如果选择了座位100：最后一名乘客将不得不坐在座位1上。其他所有乘客都可以坐在他们的座位上。
2. 如果选择了座位1：乘客1和最后一名乘客会互相交换座位，形成一个“循环”。所有后续的乘客可以坐在他们分配的座位上，这也包括最后一名乘客。

由于问题的对称性（每位乘客被占座后随机选择任何一个座位的机会均等），这两个结果同样可能。因此最后一位乘客坐在他们的指定座位（第100号座位）的概率是1/2。在其他一半的情况下，他们会坐在第1位乘客的座位。