拓扑排序：解决“酱油问题”的算法魔法

在众多排序算法中，拓扑排序算是一种非常有趣且实用的排序方式。它以直观的图形结构为表现形式，将多个元素按照一定的规则排列成一个有向无环图，然后对整个有向无环图进行排序。拓扑排序在处理“酱油问题”这一实际应用场景中表现出色，因此被很多程序员视为一种“算法魔法”。

一、什么是拓扑排序？

拓扑排序是一种分治法策略，将多个元素排列成一个有向无环图，然后对整个有向无环图进行排序。在排序过程中，通过创建一个虚拟的“栈”，将当前节点入栈，然后将“栈顶元素”与“堆顶元素”交换，并将“栈顶元素”删除出栈。不断重复此过程，直至整个有向无环图排序完成。

二、拓扑排序的原理

拓扑排序的基本原理可以概括为以下几点：

1. 构建有向无环图

首先，将多个元素排列成一个有向无环图。在构建过程中，需要保证图中不存在环，即每个节点都只与其直接邻居节点相连。

2. 排序有向无环图

接下来，对整个有向无环图进行排序。由于有向无环图中不存在环，因此排序的过程就是对图中节点进行排序。通常情况下，我们可以使用冒泡排序、快速排序等基础排序算法对有向无环图进行排序。

3. 输出排序结果

最后，将排序后的有向无环图输出，以供用户查看。

三、拓扑排序的案例与代码示例

下面以一个“酱油问题”为例，展示如何使用拓扑排序解决实际问题。

# 酱油问题：给定一个有向无环图，请按照酱油瓶的容量从小到大排序，使得酱油瓶中酱油的数量最少。

def min_酱油瓶中酱油数量(graph):
    # 构建有向无环图
    nodes = [1] * len(graph)
    edges = [0] * len(graph)
    for u, v, w in graph.items():
        nodes[u], nodes[v], nodes[w] = nodes[v], nodes[w], nodes[u]
        edges[u], edges[v], edges[w] = edges[v], edges[w], edges[u]

    # 排序有向无环图
    排序后的nodes = sorted(nodes, key=lambda n: n)
    # 输出排序结果
    return [nodes[i] for i in sorted(range(len(nodes)), reverse=True)]

# 示例：使用有向无环图
graph = {
    1: 2,
    2: 3,
    3: 4,
    4: 1,
    5: 2,
    6: 3,
    7: 4,
    8: 5,
    9: 6,
    10: 7,
    11: 8,
    12: 9,
    13: 10,
    14: 11,
    15: 12,
    16: 13,
    17: 14,
    18: 15,
    19: 16,
    20: 17,
    21: 18,
    22: 19,
    23: 20,
    24: 21,
    25: 22,
    26: 23,
    27: 24,
    28: 25,
    29: 26,
    30: 27,
    31: 28,
    32: 29,
    33: 30,
    34: 31,
    35: 32,
    36: 33,
    37: 34,
    38: 35,
    39: 36,
    40: 37,
    41: 38,
    42: 39,
    43: 40,
    44: 41,
    45: 42,
    46: 43,
    47: 44,
    48: 45,
    49: 46,
    50: 47,
    51: 48,
    52: 49,
    53: 50,
    54: 51,
    55: 52,
    56: 53,
    57: 54,
    58: 55,
    59: 56,
    60: 57,
    61: 58,
    62: 59,
    63: 60,
    64: 61,
    65: 62,
    66: 63,
    67: 64,
    68: 65,
    69: 66,
    70: 67,
    71: 68,
    72: 69,
    73: 70,
    74: 71,
    75: 72,
    76: 73,
    77: 74,
    78: 75,
    79: 76,
    80: 77,
    81: 78,
    82: 79,
    83: 80,
    84: 81,
    85: 82,
    86: 83,
    87: 84,
    88: 85,
    89: 86,
    90: 87,
    91: 88,
    92: 89,
    93: 90,
    94: 91,
    95: 92,
    96: 93,
    97: 94,
    98: 95,
    99: 96,
    100: 97,
    101: 98,
    102: 99,
    103: 100,
    104: 101,
    105: 102,
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