微积分公式大全

导数与微分

基本导数公式

• 常数的导数：对于任意常数c，其导数为0。
• 幂函数的导数：若f(x) = x^n，则f’(x) = nx^(n-1)。
• 指数函数的导数：若f(x) = a^x，则f’(x) = a^x * ln(a)。
• 对数函数的导数：若f(x) = log(a)x，则f’(x) = log(a) / x。
• 三角函数的导数：
  • sin(x)的导数：cos(x)
  • cos(x)的导数：-sin(x)
  • tan(x)的导数：sec^2(x)

导数运算法则

• 加法法则：(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)
• 减法法则：(f(x) - g(x))’ = f’(x) - g’(x)
• 乘法法则：(f(x) * g(x))’ = f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)
• 除法法则：(f(x) / g(x))’ = (f’(x) * g(x) - f(x) * g’(x)) / g^2(x)
• 链式法则：(f(g(x)))’ = f’(g(x)) * g’(x)

积分

基本积分公式

• 常数的积分：对于任意常数c，其积分也为c。
• 幂函数的积分：若f(x) = x^n，则∫f(x) dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C。
• 指数函数的积分：若f(x) = a^x，则∫f(x) dx = a^x / ln(a) + C。
• 对数函数的积分：若f(x) = log(a)x，则∫f(x) dx = x * log(a)x - x + C。
• 三角函数的积分：
  • ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
  • ∫cos(x) dx = sin(x) + C
  • ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C

积分运算法则

• 加法法则：∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
• 减法法则：∫(f(x) - g(x)) dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx
• 乘法法则：∫(f(x) * g(x)) dx = ∫f(x) dx * ∫g(x) dx
• 除法法则：∫(f(x) / g(x)) dx = ∫f(x) dx / ∫g(x) dx
• 换元积分法：设u = g(x)，则∫f(g(x)) dx = ∫f(u) * g’(x) dx

微分方程

一阶微分方程

• 基本一阶微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
• 解一阶微分方程：分离变量法、积分因子法、换元积分法等。

二阶及高阶微分方程

• 二阶微分方程：y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = R(x)，其中P(x)、Q(x)和R