课程名称: JavaScript版数据结构与算法
课程章节：第8章 数据结构之“树”
课程讲师： lewis
课程内容：前端JS的算法基础
课程介绍：
8-1 树简介
8-2 深度与广度优先遍历
8-3 二叉树的先中后序遍历
8-4 二叉树的先中后序遍历（非递归版）
8-5 LeetCode：104. 二叉树的最大深度
8-6 LeetCode：111. 二叉树的最小深度
8-7 LeetCode：102. 二叉树的层序遍历
8-8 LeetCode：94. 二叉树的中序遍历
8-9 LeetCode：112. 路径总和
8-10 前端与树：遍历 JSON 的所有节点值

一、 树的典型案例哈夫曼树

在数据结构理论中，哈夫曼树又称为最优树，相关的知识点还有哈弗曼编码等。

给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

（1）节点路径

按照规定，将树中一个节点到另一个节点所经历的分支，称为节点路径，比如上图中节点A到节点E的路径为ABE。

（2）路径长度

根据上述“节点路径”的定义，将路径上的分支总数称为路径长度，比如上图中节点A到节点E的路径长度为2。

（3）节点的带权路径长度

根据上述“节点路径”和“路径长度”的定义，将从根节点到某节点的路径长度和节点权值的乘积，称为节点的带权路径长度。比如上图中节点A到节点D的路径长度为2，权值为8，则带权路径长度为2x8=16。

（4）树的带权路径长度

根据上述“节点的带权路径长度”的定义，将树中所有叶子节点的带权路径长度，称为树的带权路径长度。比如上图中，三个叶子节点C、D、E，对应的路径长度分别为1、2、2，对应的权值分别为4、8、3，则树的带权路径长度为：

将上述概念形式化，可以使用下面的公式进行计算：

其中了表示路径长度，w表示权值，n表示叶子节点个数。

举个例子：
哈夫曼树能够根据节点的查找频率来构造更有效的搜索树，是 WPL 最小的树。

哈夫曼树的构造可以理解为将权值最小的两棵二叉树合并，这个树的权值等于 2 个子树的和。

关于如何选取两个权值最小的二叉树，可以使用最小堆实现，复杂度是 O(N log N)。

比如权值：{1,2,3,4,5}，可以得出：

计算以下 WPL = 2 * 3 + 2 * 4 + 2 * 5 + 3 * 1 + 3 * 2 = 33

哈夫曼树的特点：

没有度为 1 的节点(即不存在只有一个子节点的节点)
n 个叶子节点的哈夫曼树，总节点数为 2n-1
n0：叶节点总数
n1：只有一个子节点的节点总数
n2：有两个子节点的节点总数
那么 n2 = n0 - 1
由于没有度为 1 的节点，所以其总节点数为 n + n - 1 = 2n-1
哈夫曼树任意非叶节点的左右子树交换后仍是哈夫曼树
对同一权值{W1,W2,W3,…,Wn}，允许存在不同构造的两颗哈夫曼树

哈夫曼编码用于数据存储中做压缩，如下案例：
问题：
给定一段包含 50 个字符的字符串，由 {a,b,c,d,e,f}构成，且每个字符出现次数不同，会有如下几种存储方式。
分析
等长 ASCII 编码，存储长度为 50 * 8 = 400 位
等长 3 位编码，存储长度为 50 * 3 = 150 位
不等长编码，出现频率高的字符编码短些，出现频率低的字符编码长些。
第三种便可以使用哈夫曼树来实现，假如给定：

构成哈夫曼树：

`

``

所以： a:0; b:1101; c:10; d:11000; e:11001; f:111 。

长度为： 1 * 18 + 4 * 4 + 16 * 2 + 1 * 5 + 1 * 5 + 10 * 3 = 106 字符。

总结

今天我们首先明白树形结构，并且通过哈夫曼树来了解推导方案，树的遍历方法这些在下一个章节结合实际来进行阐述。

之前在学习的过程中，忽略了问答区的一些经典问题，研究一下确实有些东西可以更好的补充我们的知识体系，建议大家也可以广泛参与，形成知识的反馈闭环，效果更佳。