【Java数据结构及算法实战】系列005：渐近记法

本节是《Java数据结构及算法实战》系列的第5节，主要介绍分析算法和数据结构的重要工具——渐近记法。

在前一节，我们介绍了程序的性能，也介绍了评估性能的方式。那么，我们是否就能测算出算法需要运行的时间呢？

1.3.1 大O标记法

直接回答上述问题并非易事，原因在于，即使是同一算法，针对不同的输入运行的时间并不相同。以排序问题为例，输入序列的规模、组成和次序都不是确定的，这些因素都会影响到排序算法的运行时间。在所有这些因素中，输入的规模是最重要的一个。假设我们要对学生按照成绩排序，那么显然，当学生的规模很少时（比如50个）所耗费的排序时间，肯定是要比当学生的规模很大时（比如50万个）所耗费的排序时间短。

因此，在实际分析算法的时间复杂度时，通常只考虑输入规模这一主要因素。如果将某一算法为了处理规模为n的问题所需的时间记作T(n)，那么随着问题规模n的增长，运行时间T(n)我们将称之为算法的时间复杂度。

由于小规模的问题所需的处理时间相对更少，不同算法在效率方面的差异并不明显，而只有在处理大规模的问题时，这方面的差异才有质的区别。因此，在评价算法的运行时间时，我们往往可以忽略其在处理小规模问题时的性能，转而关注其在处理足够大规模问题时的性能，即所谓的渐进复杂度（Asmpototic Complexity）。

另外，通常我们也不需要知道T(n)的确切大小，而只需要对其上界作出估计。比如说，如果存在正常数a、N和一个函数f(n)，使得对于任何n > N，都有

T(n) < a × f(n) 

我们就可以认为在n足够大之后，f(n)给出了T(n)的一个上界。对于这种情况，我们记之为

T(n) = O(f(n))

这里的O称作“大O记号（Big-O notation）”，是希腊字母omicron的大写形式。从上述例子可以看出，大O记号实质上是对算法执行效率的一种保守估计⎯⎯对于规模为n的任意输入，算法的运行时间都不会超过O(f(n))。换言之，大O记号是对算法执行效率最差情况的估算。

大O记号是渐进记法的一种。渐进记法一直就是人们用于分析算法和数据结构的重要工具。其核心思想是：提供一种资源表示形式，主要用于分析某项功能在应对一定规模参数时需要的资源（通常是时间，有时候也会是内存）。常用的渐进记法还包括大Θ记号、大Ω记号。

1.3.2 大Ω标记法

如果存在正常数a、N和一个函数g(n)，使得对于任何n>N，都有

T(n) > a × g(n) 

我们就可以认为在n足够大之后，g(n)给出了T(n)的一个下界。对于这种情况，我们记之为

T(n) = Ω(g(n)) 

这里的Ω称作“大Ω记号（Big-Ω notation）”，是希腊字母omega的大写形式。大Ω记号与大O记号正好相反，它是对算法执行效率的一种乐观估计⎯⎯对于规模为n的任意输入，算法的运行时间都不会低于Ω(g(n))。换言之，大O记号是对算法执行效率最好情况的估算。

1.3.3 大Θ标记法

如果存在正常数a<b、N和一个函数h(n)，使得对于任何n > N，都有

a × h(n) < T(n) < b × h(n) 

我们就可以认为在n足够大之后，h(n)给出了T(n)的一个确界。对于这种情况，我们记之为

T(n) = Θ(h(n)) 

这里的Θ称作“大Θ记号（Big-Θ notation）”，是希腊字母theta的大写形式。大Θ记号是对算法执行效率的一种准确估计⎯⎯对于规模为n的任意输入，算法的运行时间都与Θ(h(n))同阶。

1.3.4 渐近记法总结

总结而言，渐近记法的含义如下表1-2所示。

表1-2 渐近记法含义

在上面度量算法复杂度的三种记号中，大O记号是最基本的，也是最常用到的。本书后续的算法复杂度也主要采用按照大O记号来表示。