『数据结构与算法』二叉查找树（BST）

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1. 二叉查找树（Binary Search Tree）

二叉查找树又叫二叉排序树（Binary Sort Tree），或叫二叉搜索树，简称BST。BST是一种节点值之间有次序的二叉树。其特性是：

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
• 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于或等于它的根节点的值；
• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低，为$O(logN)$。用大$O$符号表示的时间复杂度：

2. BST的实现

二叉查找树要求所有的节点元素都能够排序，所以我们的Node节点类需要实现Comparable接口，树中的两个元素可以使用compareTo方法进行比较。
我们节点中元素的类型为int型，所以该接口泛型为Comparable<Integer>，下面是具体实现：

2.1 节点类

• element 为数据元素
• left 为左子节点
• right 为右子节点

class Node implements Comparable<Integer> {
    private final int element; // 数据元素
    private Node left; // 左子树
    private Node right; // 右子树

    private Node(Integer element) {
        this.element = element;
    }

    @Override
    public int compareTo(Integer o) {
        return o.compareTo(element);
    }
}

2.2 二叉查找树类

• root 为树根，所有的操作均始于此

后面会在该类中增加其他方法，如添加、查找、删除等

class BinarySearchTree {
        private Node root; // 树根
}

3. 插入节点

向二叉查找树中插入的节点总是叶子节点，插入过程如下：

1. 若root为空，则将插入节点设为root
2. 当前元素与插入元素通过compareTo进行比较，若插入元素值小，并且左子节点left为空，则插入至当前节点左子节点；否则继续递归
3. 若插入元素值大，且右子节点right为空，则插入至当前节点右子节点；否则继续递归。
4. 若插入元素等于当前节点元素，则插入失败。注：也可以将其插入到右子节点，我这里为了方便直接放弃插入。

具体实现：
在BinarySearchTree类中添加两个方法：

• public boolean add(int element) 为公开方法
• private boolean add(Node node, int element)为私有方法，内部递归使用

       // 添加元素
       public boolean add(int element) {
            if (root == null) {
                root = new Node(element);
                return true;
            }
            return add(root, element);
        }
        // 添加元素（递归）
        private boolean add(Node node, int element) {
            if (node.compareTo(element) < 0) {
                if (node.left == null) {
                    node.left = new Node(element);
                    return true;
                } else {
                    return add(node.left, element);
                }
            } else if (node.compareTo(element) > 0) {
                if (node.right == null) {
                    node.right = new Node(element);
                    return true;
                } else {
                    return add(node.right, element);
                }
            } else {
                return false;
            }
        }

4. 查找节点

通过二叉查找树查找元素，其过程如下：

1. 若root为空，则查找失败
2. 将当前元素与目标元素对比，若相等则查找成功。
3. 若不相等，则继续递归查找：若目标值小于当前节点值，则查找左子树；否则，查找右子树。

具体实现：
在BinarySearchTree类中添加两个方法：

• public Node find(int element) 为公开方法
• private Node find(Node node, int element)为私有方法，内部递归使用

      // 查找元素
      public Node find(int element) {
            if (root == null) {
                return null;
            }
            return find(root, element);
        }

        // 查询元素（递归）
        private Node find(Node node, int element) {
            if (node == null) {
                return null;
            }
            int compareResult = node.compareTo(element);
            if (compareResult < 0) {
                return find(node.left, element);
            } else if (compareResult > 0) {
                return find(node.right, element);
            } else {
                return node;
            }
        }

5. 遍历节点

BST是一个有序二叉树，通过中序遍历可顺序输出树中节点。
中序遍历过程如下：

1. 递归遍历左子节点
2. 输出当前节点
3. 递归遍历右子节点

具体实现：
在BinarySearchTree类中添加两个方法：

• public void orderPrint() 为公开方法
• private void orderPrint(Node node)为私有方法，内部递归使用

      // 遍历节点
      public void orderPrint() {
            orderPrint(root);
        }

        // 遍历节点（递归）
        private void orderPrint(Node node) {

            if (node == null) {
                return;
            }

            // 递归左子节点
            if (node.left != null) {
                orderPrint(node.left);
            }

            // 输出当前节点
            System.out.println(node.element);

            // 递归右子节点
            if (node.right != null) {
                orderPrint(node.right);
            }

        }

6. 删除节点

删除节点最为复查，共有三种情况：

6.1 目标元素为叶子节点

叶子节点最容易删除，过程如下：

1. 找到目标节点的父节点
2. 判断目标节点是父节点的左子树还是右子树
3. 若是左子树，将父节点的left设为空；否则将父节点的right设为空

6.2 目标元素即有左子树，也有右子树

该情况删除操作最为复杂，过程如下：

1. 找到目标节点的父节点
2. 判断目标节点是父节点的左子树还是右子树
3. 找到右子树中最小元素（叶子节点），将其赋给临时变量minNode，再将该元素从树中删除
4. 将目标元素的属性赋予minNode。
5. 若目标元素是父节点的左子树，将父节点的left设为minNode；否则将父节点的right设为minNode

6.3 目标元素只有左子树，或只有右子树

删除过程如下

1. 找到目标节点的父节点
2. 判断目标节点是父节点的左子树还是右子树
3. 若是左子树，将父节点的left设为目标节点不为空的子树；否则将父节点的right设为目标节点不为空的子树

具体实现
在BinarySearchTree类中添加两个方法：

• public boolean remove(int element) 为公开方法
• private boolean remove(Node parentNode, Node node, int element)为私有方法，内部递归使用

      // 删除节点
      public boolean remove(int element) {
            if (root == null) {
                return false;
            }
            // 如果删除的元素是root
            if (root.compareTo(element) == 0) {
                if (root.right == null) {
                    root = root.left;
                } else {
                    root.right.left = root.left;
                    root = root.right;
                }
                return true;
            }
            return remove(null, root, element);
        }

        // 删除节点（递归）
        private boolean remove(Node parentNode, Node node, int element) {
            if (node == null) {
                return false;
            }
            // 先找到目标元素
            int compareResult = node.compareTo(element);
            if (compareResult < 0) {
                return remove(node, node.left, element);
            }
            if (compareResult > 0) {
                return remove(node, node.right, element);
            }

            // 找到目标元素，判断该节点是父节点的左子树还是右子树
            boolean isLeftOfParent = false;
            if (parentNode.left != null && parentNode.left.compareTo(element) == 0) {
                isLeftOfParent = true;
            }

            // 删除目标元素
            if (node.left == null && node.right == null) { // （1）目标元素为叶子节点，直接删除
                if (isLeftOfParent) {
                    parentNode.left = null;
                } else {
                    parentNode.right = null;
                }
            } else if (node.left != null && node.right != null) { // （2）目标元素即有左子树，也有右子树
                // 找到右子树最小值（叶子节点），并将其删除
                Node minNode = findMin(node.right);
                remove(minNode.element);
                // 将该最小值替换要删除的目标节点
                minNode.left = node.left;
                minNode.right = node.right;
                if(isLeftOfParent) {
                    parentNode.left = minNode;
                } else {
                    parentNode.right = minNode;
                }

            } else { // （3）目标元素只有左子树，或只有右子树
                if (isLeftOfParent) {
                    parentNode.left = node.left != null ? node.left : node.right;
                } else {
                    parentNode.right = node.left != null ? node.left : node.right;
                }
            }
            return true;
        }
    }

7. 完整代码

该代码根据下图二叉查找树实现，其操作包括：添加、查找、遍历、删除、查询最小值、查询最大值。

public class BinarySearchTreeDemo {

    public static void main(String[] args) {
        BinarySearchTree tree = new BinarySearchTree();

        System.out.println("----------------------添加元素");
        Integer[] array = {5, 2, 7, 1, 4, 3, 7, 6, 9, 8};
        for (Integer element : array) {
            System.out.printf("添加元素[%s] --> %s\n", element, tree.add(element));
        }

        System.out.println("----------------------顺序输出（中序遍历）");
        tree.orderPrint();

        System.out.println("----------------------查找元素");
        System.out.println(tree.find(7));

        System.out.println("----------------------查找最小元素");
        System.out.println(tree.findMin());

        System.out.println("----------------------查找最大元素");
        System.out.println(tree.findMax());

        System.out.println("----------------------是否包含元素");
        System.out.println("是否包含[0] --> \t" + tree.contains(0));
        System.out.println("是否包含[2] --> \t" + tree.contains(2));

        System.out.println("----------------------删除目标元素");
        System.out.println("删除[0] --> \t" + tree.remove(0));
        tree.orderPrint();
        System.out.println("删除[1] --> \t" + tree.remove(1));
        tree.orderPrint();
        System.out.println("删除[4] --> \t" + tree.remove(4));
        tree.orderPrint();
        System.out.println("删除[7] --> \t" + tree.remove(7));
        tree.orderPrint();

    }

    private static class BinarySearchTree {
        private Node root; // 树根

        /**
         * 添加元素
         *
         * @param element
         * @return
         */
        public boolean add(int element) {
            if (root == null) {
                root = new Node(element);
                return true;
            }
            return add(root, element);
        }

        /**
         * 添加元素（递归）
         *
         * @param node
         * @param element
         * @return
         */
        private boolean add(Node node, int element) {
            if (node.compareTo(element) < 0) {
                if (node.left == null) {
                    node.left = new Node(element);
                    return true;
                } else {
                    return add(node.left, element);
                }
            } else if (node.compareTo(element) > 0) {
                if (node.right == null) {
                    node.right = new Node(element);
                    return true;
                } else {
                    return add(node.right, element);
                }
            } else {
                return false;
            }
        }

        /**
         * 查询元素
         *
         * @param element
         * @return
         */
        public Node find(int element) {
            if (root == null) {
                return null;
            }
            return find(root, element);
        }

        /**
         * 查询元素（递归）
         *
         * @param node
         * @param element
         * @return
         */
        private Node find(Node node, int element) {
            if (node == null) {
                return null;
            }
            int compareResult = node.compareTo(element);
            if (compareResult < 0) {
                return find(node.left, element);
            } else if (compareResult > 0) {
                return find(node.right, element);
            } else {
                return node;
            }
        }

        /**
         * 查找最大值
         *
         * @return
         */
        public Node findMax() {
            return findMax(root);
        }

        /**
         * 查找最大值（递归）
         *
         * @param node
         * @return
         */
        private Node findMax(Node node) {
            if (node.right == null) {
                return node;
            }
            return findMax(node.right);
        }

        /**
         * 查找最小值
         *
         * @return
         */
        private Node findMin() {
            return findMin(root);
        }

        /**
         * 查找最小值（递归）
         *
         * @param node
         * @return
         */
        private Node findMin(Node node) {
            if (node.left == null) {
                return node;
            }
            return findMin(node.left);
        }

        /**
         * 顺序输出
         */
        public void orderPrint() {
            orderPrint(root);
        }


        /**
         * 顺序输出（递归）
         *
         * @param node
         */
        private void orderPrint(Node node) {

            if (node == null) {
                return;
            }

            // 递归左子节点
            if (node.left != null) {
                orderPrint(node.left);
            }

            // 输出当前节点
            System.out.println(node.element);

            // 递归右子节点
            if (node.right != null) {
                orderPrint(node.right);
            }

        }

        /**
         * 是否包含某值
         *
         * @param element
         * @return
         */
        public boolean contains(int element) {
            if (find(element) == null) {
                return false;
            }
            return true;
        }

        /**
         * 删除目标元素
         *
         * @param element
         * @return
         */
        public boolean remove(int element) {
            if (root == null) {
                return false;
            }
            // 如果删除的元素是root
            if (root.compareTo(element) == 0) {
                if (root.right == null) {
                    root = root.left;
                } else {
                    root.right.left = root.left;
                    root = root.right;
                }
                return true;
            }
            return remove(null, root, element);
        }

        /**
         * 删除目标元素（递归），有三种情况：
         * （1）目标元素为叶子节点
         * （2）目标元素即有左子树，也有右子树
         * （3）目标元素只有左子树，或只有右子树
         *
         * @param parentNode 当前节点的父节点
         * @param node       当前节点（若当前节点上的元素与要删除的元素匹配，则删除当前节点）
         * @param element    要删除的元素
         * @return
         */
        private boolean remove(Node parentNode, Node node, int element) {
            if (node == null) {
                return false;
            }
            // 先找到目标元素
            int compareResult = node.compareTo(element);
            if (compareResult < 0) {
                return remove(node, node.left, element);
            }
            if (compareResult > 0) {
                return remove(node, node.right, element);
            }

            // 找到目标元素，判断该节点是父节点的左子树还是右子树
            boolean isLeftOfParent = false;
            if (parentNode.left != null && parentNode.left.compareTo(element) == 0) {
                isLeftOfParent = true;
            }

            // 删除目标元素
            if (node.left == null && node.right == null) { // （1）目标元素为叶子节点，直接删除
                if (isLeftOfParent) {
                    parentNode.left = null;
                } else {
                    parentNode.right = null;
                }
            } else if (node.left != null && node.right != null) { // （2）目标元素即有左子树，也有右子树
                // 找到右子树最小值（叶子节点），并将其删除
                Node minNode = findMin(node.right);
                remove(minNode.element);
                // 将该最小值替换要删除的目标节点
                minNode.left = node.left;
                minNode.right = node.right;
                if(isLeftOfParent) {
                    parentNode.left = minNode;
                } else {
                    parentNode.right = minNode;
                }

            } else { // （3）目标元素只有左子树，或只有右子树
                if (isLeftOfParent) {
                    parentNode.left = node.left != null ? node.left : node.right;
                } else {
                    parentNode.right = node.left != null ? node.left : node.right;
                }
            }
            return true;
        }
    }

    private static class Node implements Comparable<Integer> {
        private final Integer element; // 数据元素
        private Node left; // 左子树
        private Node right; // 右子树

        private Node(Integer element) {
            this.element = element;
        }

        @Override
        public int compareTo(Integer o) {
            return o.compareTo(element);
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "Node{" +
                    "element=" + element +
                    '}';
        }
    }
}

输出结果：

----------------------添加元素
添加元素[5] --> true
添加元素[2] --> true
添加元素[7] --> true
添加元素[1] --> true
添加元素[4] --> true
添加元素[3] --> true
添加元素[7] --> false
添加元素[6] --> true
添加元素[9] --> true
添加元素[8] --> true
----------------------顺序输出（中序遍历）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
----------------------查找元素
Node{element=7}
----------------------查找最小元素
Node{element=1}
----------------------查找最大元素
Node{element=9}
----------------------是否包含元素
是否包含[0] --> 	false
是否包含[2] --> 	true
----------------------删除目标元素
删除[0] --> 	false
1
2
3
4
5
6
7
8
9
删除[1] --> 	true
2
3
4
5
6
7
8
9
删除[4] --> 	true
2
3
5
6
7
8
9
删除[7] --> 	true
2
3
5
6
8
9