77. 组合

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/combinations

题目

给定两个整数 n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:

输入: n = 4, k = 2
输出:
[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

解题思路

思路：组合数

先审题，题目要求给定 n，返回 1…n 中所有可能的 k 个数组合。我们可以发现，这其实就是高中数学概念上的组合数问题。

组合的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m（$m\le n$）个不同元素组成一组，称为组合。

组合数的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m（$m\le n$）个不同元素的所有组合的个数，叫做组合数，记为 CnmC_{n}^{m}Cnm​。

组合数有这样一个性质：

Cn+1m=Cnm+Cnm−1C_{n+1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m-1}Cn+1m​=Cnm​+Cnm−1​

这里我们令 n’ = n+1，那么上面的式子则会变成：

Cn′m=Cn′−1m+Cn′−1m−1C_{n'}^{m} = C_{n'-1}^{m} + C_{n'-1}^{m-1}Cn′m​=Cn′−1m​+Cn′−1m−1​

其实也就等同于：

Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1C_{n}^{m} = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1}Cnm​=Cn−1m​+Cn−1m−1​

这里我们可以这样去理解上面的式子。假设现在从 n 个元素选 m 个元素，也就是 CnmC_{n}^{m}Cnm​。这里，我们先选择一个需要特殊考虑的元素，那么就会有以下两种情况：

• 当选取的元素中不含这个特殊元素，那么就需要在剩余的 n-1 个元素中选出 m 个元素，也就是 Cn−1mC_{n-1}^{m}Cn−1m​；
• 当选取的元素中含有这个特殊元素，那么就需要从剩余的 n-1 个元素中选出 m-1 个元素，也就是 Cn−1m−1C_{n-1}^{m-1}Cn−1m−1​ 。

最终，将两种情况结合起来，从 n 个元素选 m 个元素的情况。

那么就按照这个思路，进行实现，这里每次选取特殊元素为可选元素集合中最小的元素。

具体代码实现如下（递归方法）。

from typing import List

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        ans = []
        tmp = []

        def helper(special, n, k):
            # k 个元素选择完成，添加到返回列表中
            if k == 0:
	            # 这里注意添加的是副本
	            # 具体原因，建议自行调试查看
                ans.append(tmp[::])
                return
            # 表示剩余元素不够选择 k 个元素，直接返回
            if k > n:
                return

            tmp.append(special)
            helper(special+1, n-1, k-1)
            tmp.pop()
            helper(special+1, n-1, k)

        helper(1, n, k)

        return ans

# n = 4
# k = 2
# solution = Solution()
# ans = solution.combine(n, k)
# print(ans)