309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown

题目

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

解题思路

思路：动态规划

先审题，题目中说明，不能同时参与多笔交易，购买前需先抛售前面购买的股票。同时还会有一个冷冻期，题目给出的解释是当某一天抛售股票时，第二天无法再次购买也就是抛售后的第二天休息一天。

因为买卖有这个冷冻期的存在，我们先将是否持有股票区分开，再将这个概念添加进来讨论。先定义两个 dp 数组，分别代表持有股票和未持有股票的累计最大收益。

状态定义

先进行状态定义，定义两个数组分别为 own 和 not_own。其中 own[i] 表示第 i 天时，持有股票的最大收益；而 not_own[i] 表示第 i 天时，未持有股票的最大收益。

状态转移

现在讨论 冷冻期 这个概念，上面两个数组，在进行状态转移的时候会有不同的情况，具体如下：

对于 own[i] 而言，表示第 i 天持有股票的最大收益，可能情况拆分如下：

• 第 i-1 天持有，第 i 天继续持有；
• 第 i-1 天为冷冻期，那么第 i 天买入（也就是前天卖了，当天买入价格为 prices[i]）；
• 那么此时的状态转移方程为：own[i] = max(own[i-1], not_own[i-2] - prices[i])

对于 not_own[i] 而言，也可以拆分为以下情况：

• 第 i-1 天抛售，第 i 天属于冷冻期；
• 第 i-1 天持有股票，第 i 天抛售股票；
• 那么此时的状态转移方程为：not_own[i] = max(not_own[i-1], own[i-1]+prices[i])

在这里，两个数组之间发生状态转移。先说下 own[i] 的状态转移方程，对于第一种情况好理解，第二种情况，可以这样理解，因为相近一次买卖的收益是这样计算的：收益 = 卖出 - 买入。那么当天买入需要花的钱直接先扣除（也就是先减去买入价格），那么后续抛售的时候，这里就不再计算这一部分，直接加上卖出的价格。这种情况也就跟 not_own[i] 出现的第二种情况吻合，直接用前面第 i-1 天的收益加上当前股票的价格（因为前面已经先扣除过）。

初始化

own[0]：表示第 0 天买入，前面分析了，这里直接减去买入价格，所以 own[0] = -prices[0]；

own[1]：表示可能第 0 天买入，第 1 天继续持有；或者第 1 天当天买入，所以 own[1] = max(-prices[0], -prices[1])。

not_own[0]：表示第 0 天未持有股票，所以无收益，not_own[0] = 0

具体代码实现如下。

代码实现

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices or len(prices) == 1:
            return 0

        length = len(prices)

        own = [0] * length
        not_own = [0] * length

        # 初始化
        own[0] = -prices[0]
        own[1] = max(-prices[0], -prices[1])

        not_own[0] = 0

        for i in range(1, length):
            not_own[i] = max(not_own[i-1], own[i-1] + prices[i])
            if i == 1:
                continue
            own[i] = max(own[i-1], not_own[i-2] - prices[i])
        
        return max(own[-1], not_own[-1])

实现结果

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