面试题 16.11. 跳水板

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/diving-board-lcci

题目

你正在使用一堆木板建造跳水板。有两种类型的木板，其中长度较短的木板长度为 shorter，长度较长的木板长度为 longer。你必须正好使用 k 块木板。编写一个方法，生成跳水板所有可能的长度。

返回的长度需要从小到大排列。

示例：

输入：
shorter = 1
longer = 2
k = 3
输出： {3,4,5,6}

提示：

• 0 < shorter <= longer
• 0 <= k <= 100000

解题思路

思路：数学

这道题用数学的方法去证明，找规律。先说一下特殊情况：

• 当 k = 0 的时候，这里表示可使用的木板为 0，那么也就无法建造跳水板，返回空列表 []；
• 当 shorter == longer 时，那么表示木板长度相同，那么跳水板的长度只有一种可能，那就是 shorter * k。

现在除开上面两种情况，也就是 longer > shorter, k > 0 的情况时，会有怎样的结论。

在这里，我们先将结论给出，然后再去证明。

结论： 跳水板所有长度的结果有 k+1 种，而且长度分别为：shorter * k + (longer-shorter) * x， 其中 0 <= x <= k。

现在来证明如何得到这样的结论：

先假设 shorter 的木板有 k-x 个，longer 木板有 x 个。那么跳水板的长度则为：

观察上面式子，我们知道 shorter, longer, k 这些都是常量。只有 x 才是变化的。因为 longer > shorter，那么 longer-shorter 一定是大于 0，那么上面的式子就可以看成单调递增的一元一次函数。

因为 x 的取值是落在 [0, k] 的（左闭右闭），那么 f(x) 的结果则有 k+1 种（x 从 0 取到 k）。

那么再结合最开始所述的两个特殊情况，将三者结合起来，就是本题的解。

根据结论，跳水板可能的组合结果如下图：

具体的实现代码如下。

代码实现

class Solution:
    def divingBoard(self, shorter: int, longer: int, k: int) -> List[int]:
        # 先处理特殊情况
        if k == 0:
            return []
        if shorter == longer:
            return [shorter * k]
        
        # 一般的情况，longer > shorter，k > 0
        # 先生成 k+1 长度的数组
        ans = [0] * (k+1)

        for x in range(k+1):
            # 代入公式
            ans[x] = shorter * (k - x) + longer * x
        
        return ans

实现结果

总结

• 这道题可以看成是一道数学证明题，先处理特殊的情况：
  • 当 k = 0 时，表示无法构造跳水板，那么返回空列表 []；
  • 当 shorter = longer，木板相等，那么结果只有一个，返回 [shorter * k]。
• 排除特殊情况后，就一般情况，来证明跳水板可能的结果。
  • 假设 shorter 木板有 k-x 个，longer 木板有 x 个（其中 0<=x<=k）；
  • 那么跳水板的长度：f(x)=shorter*(k-x) + longer*x，对公式进行移项，可得：f(x)=shorter*k + (longer-shorter) * x；
  • 在这里，可以看到 shorter，longer，k 都是常量，只有 x 的值变化的，而且 longer > shorter，那么上面的式子就可以看出是单调递增的一元一次函数，而 x 的取值落在 [0, k]，所以 f(x) 的结果有 k+1 种可能。