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数据结构和算法 | 第一部分第二课：小鸭子们去旅行

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数据结构算法算法与数据结构

作者谢恩铭。转载请注明出处
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内容简介

引出算法复杂度的故事
两种算法
两种算法的对比
第一部分第三课预告

1. 引出算法复杂度的故事

上一课数据结构和算法 | 第一部分第一课：什么是数据结构和算法中，我们初步认识了数据结构和算法。

既然我们要开始学习算法，就不能不提一下算法复杂度。

但在我们开始谈论算法的复杂度（Complexity）之前，我希望先给大家讲个小故事。

这个轻松的小故事可以帮助你之后更好地理解算法复杂度。

之所以今天的故事标题是「小鸭子们去旅行」，是因为我之前看了《向往的生活》第二季，何老师他们的住房边上有一个羊圈，里面有天霸和点点两只羊，羊圈的边上是一个鸡窝，鸡窝里后来也养了一窝小鸭子。

有几次，这一窝小鸭子从夹缝里偷溜出鸡窝，跑到住房附近的田里的小池子里游泳，甚是可爱。所以我就想到用小鸭子们来做例子。

我们的故事是这样的：

农夫 Oscar 是一个非常友善的农夫，他养了很多只小鸭子（我知道你可能会在脑海里想象它们长大的样子，想象北京烤鸭的样子… 好了，赶紧打住这“邪恶”的念头）。

农夫 Osacr 和这些小鸭子们的关系很好，它们平时可以出窝去溜达，在冬天也可以享用一间带暖气的小屋子。但真正让这些小鸭子们兴奋的是：每年夏季最炎热的时候，Oscar 会开着一辆卡车，载着小鸭子们到离家较远的山脚下去度假，那里有很多片小池塘。小鸭子们可以在小池塘里觅食、嬉戏，度过愉快的时光。

出发之前，农夫 Oscar 会首先在他的大卡车上放入一个大箱子，再把小鸭子们一只只装在大箱子里面。大箱子是正方形的，分为一个一个隔间，每只小鸭子就卧在一个小隔间里。长宽各有 N 个隔间，这里的 N 是一个我们暂时还不知道的数。池塘的数目也是 N。

但是问题来了：在度假的时候，小鸭子们是有要求的，每只小鸭子都跟 Oscar 说它们想要远离喧嚣，尽量到比较清净（鸭子数目少一些）的池塘里去。

2. 两种算法

以往的每年，农夫 Oscar 不想费脑子，所以他是这么做的：

到达目的地之后，Oscar 把卡车停在那一片池塘（池塘数目是 N）附近，从卡车上下来，打开后车门，从那一箱子小鸭子里捧出一只来，然后问它：“你想去哪一个池塘？” 。一旦小鸭子选定了一个池塘，Oscar 就跑到那个池塘，把小鸭子放进去。

第一只小鸭子被放到想去的池塘之后，Oscar 跑回卡车，接着问第二只小鸭子它想选择哪个池塘。

因为已经有一只小鸭子选了其中一个池塘，既然这些小鸭子都希望去鸭少更清净的池塘，所以第二只小鸭子肯定会选一个还没有小鸭子在其中的池塘，然后 Oscar 又是一顿小跑。

Oscar 就以这样的方式接着问下一只小鸭子，并把每只小鸭子都放到它们想去的池塘。

N 个池塘已经渐渐开始被小鸭子们占据。一旦有池塘里面的鸭子数比其他池塘少，那么小鸭子就会选择这个池塘。显然，小鸭子进去后，这个池塘的鸭子数就会增加。

你可以想见，在 Oscar 终于把所有小鸭子都放到它们想去的池塘之后，情景应该是：N 个池塘，每个池塘里有相同数目的 N 只小鸭子。

今年，农夫 Oscar 已经有点厌倦每次必须来回于卡车和池塘之间，只为了放一只小鸭子，太耗时也太耗体力。

他想到了一个好主意：每一次，他会捧起 N 只小鸭子，到一个空着的池塘里，把这 N 只小鸭子放在里面。然后，他回到卡车，再把另一批 N 只小鸭子放到一个空着的池塘。

这样，他只需要往返卡车 N 次，即可把所有的小鸭子都放置完毕。而且结束的时候的情景，和往年一样：N 个池塘，每个池塘里有相同数目的 N 只小鸭子。

因为最终分配结果和往年一样，小鸭子们也没有任何抱怨。

3. 两种算法的对比

农夫 Oscar 放置小鸭子到池塘的方法，我们可以称之为“算法” 。因为这个算法是对“放置小鸭子”这个问题的一种精确描述。

往年的算法和今年的新算法，它们都满足了最终的条件：放置结束后，没有一个池塘的小鸭子数是多于或少于其他池塘的，每一个池塘都有 N 只小鸭子。

因此，往年的算法和今年的算法都满足了小鸭子们的要求，都是合格的算法。

两种算法的不同之处在于：往年的第一种算法，每只小鸭子都要求 Oscar 把它放到一个不同的池塘，因此 Oscar 须要往返于卡车和池塘之间的次数和小鸭子的数目是一样的，是 N x N，也就是 N 的平方。而今年的第二种算法，Oscar 只需要往返 N 趟。

毫无疑问，今年的新算法是更高效的，而且节省下的时间和鸭子的数目成正比。

假设 N 是 6，那么大箱子有 6 行 6 列，小鸭子的数目就是 36 只。如果 Oscar 在卡车和池塘之间往返一次的平均时间是 5 分钟，那么第二种算法只需要 6 x 5 = 30 分钟。而第一种算法却需要 6 x 6 x 5 = 180 分钟，也就是三小时，是第二种算法的 6 倍。

两种算法的差异随着鸭子数目的增多会继续扩大：假设 N 是 24，那么大箱子有 24 行 24 列，就有 576 只小鸭子。如果 Oscar 在卡车和池塘之间往返一次的平均时间还是 5 分钟，那么第二种算法只需要 24 x 5 = 120 分钟，也就是 2 小时。而第一种算法却需要 24 x 24 x 5 = 2880 分钟，达到了 48 小时，是第二种算法的 24 倍。

显然农夫 Oscar 的新算法好太多了。在计算机术语中，我们会说他的新算法更有效、性能更高。我们可以用“复杂性”（Complexity）来量化这种性能，我们将在下一课中学习算法的复杂度。