五大基本算法:分治算法

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

1 基本概念

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

2 分治策略

分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

3 适用场景

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

4 分治步骤

• 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
• 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
• 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

5 案例

5.1 二分查找

二分查找的前提必须是有序的,先将被查找的数和数组的中间键对应的value比较，因为数组是有序的，所有若被查找的数小于数组的中间键对应的value则这个数则在数组的左部分,然后将中间键的左边数组当作一个数组来进行二分查找。反之，则在数组的右部分，若相等，则查找成功。

public static int binarySearch(int[] arr,int value){
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        while (low<=high){
            int mid = (low + high)/2;
            if (value == arr[mid]){
                return mid;
            }
            if (value > arr[mid]){
                low = mid + 1;
            }
            if (value < arr[mid]){
                high = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }

5.2 汉诺塔

汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。
后来，这个传说就演变为汉诺塔游戏，玩法如下:

1. 有三根杆子A,B,C。A杆上有若干碟子
2. 每次移动一块碟子,小的只能叠在大的上面
3. 把所有碟子从A杆全部移到C杆上

private static int moveCount;

    public static void main(String[] args) {
        getNum(3);
    }

    private static void getNum(int num) {
        char a = 'A';
        char b = 'B';
        char c = 'C';
        moveCount = 0;//计数器
        move(num, a, b, c);
        System.out.println("共需移动 : "+moveCount);//打印移动的步骤
    }

    //from 原柱子 inter 辅助柱子 to 目的柱子
    public static void move(int moveNum,char from,char inter,char to){
        moveCount++;
        if (moveNum == 1){
            //只有一个的时候 a柱子直接把第n个移动到c
            System.out.println("Disk 1 from "
                    + from + " to " + to);
        }else{
            //a柱子借助c把(n-1)个移动到b
            move(moveNum -1,from,to,inter);
            System.out.println("Disk "
                    + moveNum + " from " + from + " to " + to);
            //b柱子借助a柱子将(n-1)个移动到c柱子
            move(moveNum - 1, inter, from, to);
        }
    }