机器学习虾扯淡之Logistic回归No.44

0x00  前言

大家好我是小蕉。上一次我们说完了线性回归。不知道小伙伴有没有什么意见建议，是不是发现每个字都看得懂，但是全篇都不知道在说啥？哈哈哈哈哈哈，那就对了。

这次我们来聊聊，有小伙伴说，如果我的结果不是想找到一个连续型的规律，而是理想型的变量，也就是说如果我么想把结果分为两拨，就这样的，咋办？大蕉大笔一挥。啊这不是分好了吗？

我敢说，现在百分之很多十（目测七八十）说自己在做人工智能的，都只是用Logistic回归在做分析。

“就你事多。我不会分。”

“想学啊你？我教你啊。”

0x01  Logistic是啥玩意

想法大概是这样。把数据映射到Sigmoid函数上边，大于0.5我们就认为是类别y1 = 0，小于0.5我们认为是类别y2 = 1。

y ∈ {0 , 1}

这个函数长啥样？就长下面这样。

因为是二分类问题，所以我们假设数据服从伯努利分布，而伯努利分布的概率分布函数，也就是Y=1的概率函数就是Simoid函数。所以我们在这种情况下，我们观察到各个样本的概率长下面这样。

进而比值比ODD 长这样

对数比值比刚刚好

你说神不神奇！！当然我们不仅仅只有一个参数是吧？所以对原始数据变成  

其中θ是一个N维的向量，跟每一个样本X的维度保持一致这样。

所以LR的映射函数做一下线性变换就变成这样了。

到这里，我们已经知道Logistic回归是什么鸟了，其实就是把数据映射到Sigmoid函数上，得到一个概率，然后我们最终通过概率来进行分类，一般是取0.5这样。

0x02  极大似然估计

那我们要怎么得到损失函数loss呢？不要急跟大蕉一步一步来。

上面我们已经看到了每个样本的概率。现在说一下极大似然估计是什么东西。极大似然估计，就是我们装作这些个参数啊，我们老早就知道了，然后借此来估计现在这些样本被观察到的概率。你脑子wata啦？既然这些样本都已经发现了，所以实际概率肯定是百分之百啊！！概率要越大越好越大越好，而又只是一个估计值，所以我们就叫它极大似然估计啦。

所以我们观察到样本的概率是

怎么容易一点去理解这行蜈蚣一样的公式呢？把Y的值0跟1代进去就行了，你就懂了，Y等于0的时候就是（1 - p ），y等于1时就是 p。就是这么简单。

下面是重点。敲黑板，划重点！！！我就是卡在这里想了很多天，完全不知道损失函数怎么来的！

因为所有样本都是相互独立的，所以他们的联合概率分布是他们的概率乘积。

yi是每个样本的实际Y值。我们这里要求最大值嘛，那要变成损失函数咋变？我们知道这个值永远是 （ 0  ,  1）的，所以直接加个负号，本来求最大就变成求最小了。

∴ loss = - L(θ)

当然我们习惯这样加，看起来比较高端，m是样本的个数

∴ loss = - 1/m * L(θ)

无所谓，原理一样的。

乘法是很消耗资源的，我们可以把它转换成对数，这样所有的乘法都变成加法啦！！而且而且函数的性质不变。所以最终的损失函数长这样。

loss(θ) = -  log L(θ)

下面开始我们用Andrew NG大大的方式变换一下好了，仅仅是为了后面比较好算而已。

跟上面没什么本质的差别，只是把Y的值域变成-1跟1了。下面就是普通的公式变换。

0x03  损失函数咋来的

进行log变换，幂乘变成乘法。

把p代进去，也就是把把负号放到P里边了。变成直接取倒数。就得到下面这个

观察一下，就可以看出来。自己代进去就知道啦。

所以最终的损失函数长这样。

好了，到这里我们的推导就结束了，接下来就按照梯度下降算法去求最小值就好啦。

0x04  怎么用呢

然后我们就可以用最终得到的参数进行预测，大于0就当成类别Y1 ，即Y = 1，小于0当成类别Y1，即Y = -1。当然，这只能用于二分类。

那这玩意有什么用呢？应用场景比比皆是。

用户点击还是不点击？客户是欺诈还是没欺诈？客户逾期还是不逾期？这个产品是推荐还是不推荐？

传说中的人工智能预测高端引擎就出来了，小伙伴自己试试看吧。
但那我就是想进行多分类？怎么办？也是有办法的。一般来说有两种方式。我们假设有N个类别。OVR（One Versus Rest）。每个类别和剩余的其他类别进行对比，可以训练出N-1个分类器，然后这N-1个分类器进行投票，就可以生成多分类器啦。OVO（One Versus One）。每次只取两个类别进行训练，然后训练出N（N-1）个分类器，然后这些分类器进行投票，也可以生成多分类器。
至于怎么投票，也有很多种方式。可以直接投票啦，也可以根据AUC对每个分类器进行赋予权重。

0x05 剩下的一点东西

Logistic回归跟线性回归有什么差异性？1、Logistic回归的目标值（Y值）是离散的，而线性回归的目标值是连续的。2、Logistic回归和线性回归都是做了线性变换，区别是Logistic回归还做了Simoid变换。3、Logistic回归出结果值后还要进行概率判断进行分类，线性回归出结果值后可以直接使用。
Logistic回归的归一化值如何理解为概率？Logistic回归其实先验于数据是服从伯努利分布的，从而概率分布函数为Sigmoid函数。在进行Logistic回归模型训练后，最好对每个变量进行显著性检验，证明自变量和Y变量确实存在线性相关关系。
Logistic损失有何优化空间？跟线性回归一样，可以加正则项进行参数稀疏化，防止过拟合。
特征预处理和数据标准化，如何操作？1、变量要进行相关性分析，去除自变量间的相关变量，以及自变量与因变量相关性太高的变量2、多分类变量应该进行ont-hot编码，变成多个哑变量，防止分类数字影响3、如果是连续型变量，可以进行分箱操作，保留相对的大小即可。如，年龄0-20岁为1，20-40岁为2，这样子，可以分箱又保留了数据的顺序性。4、跟其他特征预处理一样，可以使用一些特征选择模型，先进行一次筛选，再进行特征组合等，多次进行模型训练。

0x06  结束语

以上说的都是个人感悟，不一定全对。今天就酱，掰~跪在地上求不掉粉。（T_T又掉了几个读者，蓝瘦）