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RSA加密与解密

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Java 算法

数据信息安全对我们每个人都有很重要的意义，特别是一些敏感信息，可能一些类似于收货地址、手机号还没引起大家的注意。但是最直白的，银行卡、姓名、手机号、身份证号，如果这些信息被黑客拦截到，他就可以伪装成你，把你的钱都取走。那我们该怎么防止这样的事情发生？报文加密解密，加签验签。

我害怕什么

我害怕卡里的钱被别人取走

我害怕转账的时候，报文被黑客拦截到，篡改信息转到别人的账户。

我害怕我的敏感信息被有心人获取

做一笔游戏充值，半个小时就收到各种游戏广告，我并不能抵挡诱惑

我要做什么

交易报文不被篡改

防止报文被篡改，需要对报文进行验签操作。
敏感信息不被读取

防止报文被读取，则需要将敏感信息加密。

公钥和私钥

公钥和私钥，加密解密和加签验签。加解密用来保证数据安全，加签验签用来证明身份。

商户生成一对公私钥(商公，商私)，商户会把公钥给银行；银行也会生成一对公私钥(银公，银私)，银行会把公钥给商户。也就是说：商户有银行的公钥，自己的公钥和私钥。银行有商户的公钥，自己的公钥和私钥

加密解密保证数据安全：
- 商户使用自己公钥加密，银行没有商户私钥解不开报文，排除
- 商户使用自己的私钥加密，银行使用商户公钥解密。理论上可行，然而会出现这种情况，商户和银行1，2，3都使用相同的公私钥，那么自己私钥加密后发送给银行1的报文，被银行2截取到也可以被解密开，违背了我们加密的目的–保证数据安全，排除。
- 商户使用银行的公钥加密，让银行用自己的私钥解密。理论上可行，然而会出现这种情况，银行会和商户A，B，C都使用相同的公私钥，那么商户A和商户B发送过去的报文，银行都能解开，而且只有此银行的私钥可以解开，达成了我们的目的。但是新的问题出现了，这种情况假如商户A模拟商户B的报文把商户B的钱转移走该怎么办？所以除了加密解密，还需要加签验签。
加签验签证明身份：
- 加密已经完成，现在的问题只有怎么让银行区分这笔请求是商户A发的，还是商户B发的。想让银行区分出各个商户，拿出各个商户最独特的私钥加签即可，银行拿出对应的商户公钥验签即可。
到此，报文交互形成了一个稳定且安全的循环

带上代码设计一套加解密

结构

两对SHA1withRSA公私钥+DES会话密钥。结构如下：

加密加签步骤：

使用KeyGenerator随机生成一个会话密钥desKey
报文明文+会话密钥明文desKey对称加密得到加密后的密文message。
银行的公钥+会话密钥desKey非对称加密得到加密后的会话密钥key。
报文明文+商户的私钥非对称加密得到报文数字签名sign。
将sign和key和message传递给银行。

解密验签步骤：

加密后的会话密钥key+银行的私钥解密得到会话密钥明文desKey
对称加密得到的密文message+会话密钥明文desKey解密得到报文明文
得到的明文+商户的公钥验签，得到报文是否被中途篡改过

代码

使用KeyGenerator随机生成一个会话密钥desKey

KeyGenerator keyGenerator = KeyGenerator.getInstance("DES");
SecretKey secretKey = keyGenerator.generateKey();
return secretKey.getEncoded();

报文明文+会话密钥明文desKey对称加密得到加密后的密文message。

public static String encryptContext(String context, byte[] desKey) throws Exception {
    byte[] encryptResult = des(context.getBytes("UTF-8"), desKey, 1);
    return Hex.encodeHexString(encryptResult);
}

private static byte[] des(byte[] inputBytes, byte[] keyBytes, int mode) throws Exception {
    DESKeySpec desKeySpec = new DESKeySpec(keyBytes);
    SecretKeyFactory keyFactory = SecretKeyFactory.getInstance("DES");
    SecretKey secretKey = keyFactory.generateSecret(desKeySpec);
    IvParameterSpec iv = new IvParameterSpec(keyBytes);
    Cipher cipher = Cipher.getInstance("DES/CBC/PKCS5Padding");
    cipher.init(mode, secretKey, iv);
    return cipher.doFinal(inputBytes);
}

银行的公钥+会话密钥desKey非对称加密得到加密后的会话密钥key

public byte[] encryptRSA(byte[] plainBytes, boolean useBase64Code, String charset)
      throws Exception {
   String CIPHER_ALGORITHM = "RSA/ECB/PKCS1Padding"; // 加密block需要预留11字节
   int KEYBIT = 2048;
   int RESERVEBYTES = 11;
   Cipher cipher = Cipher.getInstance(CIPHER_ALGORITHM);
   int decryptBlock = KEYBIT / 8; // 256 bytes
   int encryptBlock = decryptBlock - RESERVEBYTES; // 245 bytes
   // 计算分段加密的block数 (向上取整)
   int nBlock = (plainBytes.length / encryptBlock);
   if ((plainBytes.length % encryptBlock) != 0) { // 余数非0，block数再加1
      nBlock += 1;
   }
   // 输出buffer, 大小为nBlock个decryptBlock
   ByteArrayOutputStream outbuf = new ByteArrayOutputStream(nBlock * decryptBlock);
   cipher.init(Cipher.ENCRYPT_MODE, peerPubKey);
   // 分段加密
   for (int offset = 0; offset < plainBytes.length; offset += encryptBlock) {
      // block大小: encryptBlock 或 剩余字节数
      int inputLen = (plainBytes.length - offset);
      if (inputLen > encryptBlock) {
         inputLen = encryptBlock;
      }
      // 得到分段加密结果
      byte[] encryptedBlock = cipher.doFinal(plainBytes, offset, inputLen);
      // 追加结果到输出buffer中
      outbuf.write(encryptedBlock);
   }
   // 如果是Base64编码，则返回Base64编码后的数组
   if (useBase64Code) {
      return Base64.encodeBase64String(outbuf.toByteArray()).getBytes(
            charset);
   } else {
      return outbuf.toByteArray(); // ciphertext
   }
}

报文明文+商户的私钥非对称加密得到报文数字签名sign。

public byte[] signRSA(byte[] plainBytes, boolean useBase64Code, String charset) throws Exception {
   Signature signature = Signature.getInstance("SHA1withRSA");
   signature.initSign(localPrivKey);
   signature.update(plainBytes);
   // 如果是Base64编码的话，需要对签名后的数组以Base64编码
   if (useBase64Code) {
      return Base64.encodeBase64String(signature.sign()).getBytes(charset);
   } else {
      return signature.sign();
   }
}

加密后的会话密钥key+银行的私钥解密得到会话密钥明文desKey；对称加密得到的密文message+会话密钥明文desKey解密得到报文明文

public byte[] decryptRSA(byte[] cryptedBytes, boolean useBase64Code,
      String charset) throws Exception {
   String CIPHER_ALGORITHM = "RSA/ECB/PKCS1Padding"; // 加密block需要预留11字节
   byte[] data = null;
   // 如果是Base64编码的话，则要Base64解码
   if (useBase64Code) {
      data = Base64.decodeBase64(new String(cryptedBytes, charset));
   } else {
      data = cryptedBytes;
   }
   int KEYBIT = 2048;
   int RESERVEBYTES = 11;
   Cipher cipher = Cipher.getInstance(CIPHER_ALGORITHM);
   int decryptBlock = KEYBIT / 8; // 256 bytes
   int encryptBlock = decryptBlock - RESERVEBYTES; // 245 bytes
   // 计算分段解密的block数 (理论上应该能整除)
   int nBlock = (data.length / decryptBlock);
   // 输出buffer, , 大小为nBlock个encryptBlock
   ByteArrayOutputStream outbuf = new ByteArrayOutputStream(nBlock * encryptBlock);
   cipher.init(Cipher.DECRYPT_MODE, localPrivKey);
   // 分段解密
   for (int offset = 0; offset < data.length; offset += decryptBlock) {
      // block大小: decryptBlock 或 剩余字节数
      int inputLen = (data.length - offset);
      if (inputLen > decryptBlock) {
         inputLen = decryptBlock;
      }
      // 得到分段解密结果
      byte[] decryptedBlock = cipher.doFinal(data, offset, inputLen);
      // 追加结果到输出buffer中
      outbuf.write(decryptedBlock);
   }
   outbuf.flush();
   outbuf.close();
   return outbuf.toByteArray();
}

得到的明文+商户的公钥验签，得到报文是否被中途篡改过

public boolean verifyRSA(byte[] plainBytes, byte[] signBytes,
      boolean useBase64Code, String charset) throws Exception {
   Signature signature = Signature.getInstance("SHA1withRSA");
   signature.initVerify(peerPubKey);
   signature.update(plainBytes);
   // 如果是Base64编码的话，需要对验签的数组以Base64解码
   if (useBase64Code) {
      return  signature.verify(Base64.decodeBase64(new String(signBytes, charset)));
   } else {
      return signature.verify(signBytes);
   }
}

代码只给出了一部分重要的加解密，加验签逻辑。还有一些逻辑都贴出来有点乱，就放在仓库里了，具体用法查看README即可，更详细的参考放在demo里

思考：为什么RSA公钥加密的值一定只有私钥才能解开，不能暴力破解？？

其实RSA的原理很简单，运用了数学的一个难题：两个大的质数相乘，难以在短时间内将其因式分解。原理很简单，但实际上操作真的很难。

时间复杂度–O

我们都知道计算机的计算速度非常快，计算几十位数的加减法都是秒出。

然而，虽然计算机很快，但再快也是有上限的。

比如我电脑的CPU主频是2.30GHz，也就是说我的电脑每秒可以进行2300000000次最基本的运行。

计算机的计算能力有限，就算是超级计算机“天河二号”，每秒也只能算3.39亿亿(这里多了个亿，给大佬跪了orz)次。

对应的，我们有一个参数来衡量一个程序的耗时，叫做时间复杂度：

多项式量级	不严格的通俗例子(输入规模 n=10^9）
常量阶 O(1)	只用1次运算,普通电脑 10^-9秒就能算完。
对数阶 O(log n)	大约会用30次计算，普通电脑 10^-8 秒算完
线性阶 O(n)	10^9 次计算，普通电脑需要一秒左右
线性对数阶 O(n log n)
平方阶 O(n^2)	大约是 10^ 18次计算，普通电脑大概要30年。

非多项式量级	不严格的通俗例子(输入规模 n=10^9)
指数阶 O(2^n)	大约2^1000000000次计算，心态崩了
阶乘阶 O(n!)	人类所有电脑加在一起，等太阳炸了都算不完

算法复杂度有各种各样的，非多项式量级要比多项式量级耗费多得多时间，上述几个复杂度的算法一个比一个慢。通俗的讲，大O后面括号里面函数的增长速度越快，算法越耗时。

总的来说，RSA之所以理论上非常安全，是因为破解RSA所要付出地计算成本远远高于使用RSA进行加密的计算成本。

使用RSA的私钥进行解密，耗用的时间复杂度是多项式级。
不使用RSA私钥，暴力破解，需要分解质因数，他的时间复杂度是非多项式级的指数级。
也就是有私钥解密只要一秒，暴力破解出结果时，人类可能已经毁灭了(不严格)。

RSA生成公私钥数学计算流程：

商户随机生成了一些非常非常大的整数，并用Miller-Rabin算法检测它们是不是质数，直到找到两个大质数——p1 和 p2 。（随机数生成：多项式时间；Miller-Rabin: 多项式时间）
商户计算两个质数的乘积 n = p1*p2（乘法: 多项式时间）
商户计算 φ(n) = (p1 - 1)(p2 - 1) （乘法: 多项式时间），这一步难以被破解，因为n太大了，分解质因数需要指数级时间复杂度。人类毁灭前是根据n推算出φ(n)可能性极小。
- 欧拉函数：φ(n)表示：小于n的正整数中与n互质的数的数目。（互质表示公因数为1）
  
  比如想要知道φ(10)的话，我们就可以看[1, 10)中和10互质的整数，也就是1、3、7、9这四个数。（2、4、6、8和10有公因数2，而5和10有公因数10）。所以φ(10)=4。
  
  比如想要知道φ(21)的话，我们就可以看[1, 21)中和21互质的整数，也就是1、2、4、5、8、10、11、13、16、17、19、20这12个数。（3、6、9、12、15、18和21有公因数3，而7、14和21有公因数7）。所以φ(21)=12。
商户构造了一个比1大、比φ(n)小、不等于 p1 或 p2 的整数e。（随机数：多项式时间）
商户求出了e对于φ(n)的乘法逆元d，也就是说ed ≡ 1（mod φ(n)），也就是说ed=kφ(n)+1 (扩展欧几里得，多项式时间)
请注意！现在神奇的事情发生了！对于一个与n互质的数a：

因为 a^φ(n) 恒等于 1 (mod n)

所以 a^kφ(n) 恒等于 1(mod n)

所以 a^(kφ(n) +1) 恒等于 a(mod n)

所以 a^ed 恒等于 a(mod n)

所以，若 c 恒等于 a^e (mod n)，则 c^d恒等于 a^ed 横等于 a(mod n)

到这里，两把钥匙构造完成！ㄟ(≧◇≦)ㄏ

公钥：（n, e）

密钥：（n, d）

RSA公私钥加密解密

商户想要生成一对公私钥的时候：

首先随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=pq。
根据欧拉函数，求得r = (p-1)(q-1)
选择一个小于 r 的整数 e，求得 e 关于模 r 的模反元素，命名为d。（模反元素存在，当且仅当e与r互质）
将 p 和 q 的记录销毁。
(N,e)是公钥，(N,d)是私钥。商户将她的公钥(N,e)传给银行，而将自己的私钥(N,d)藏起来。

商户进行加密的时候：

假设商户想给银行送一个消息m，他知道银行的公钥，换句话说是银行公钥的N和e。他使用起先与银行约好的格式将m转换为一个小于N的整数n，比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为n。用下面这个公式他可以将n加密为c：

ne ≡ c (mod N)
计算c并不复杂。商户算出c后就可以将它传递给银行，也就是密文啦。

银行想要解密的时候：

银行得到商户的密文消息c(商户使用银行公钥加密后的密文)后就可以利用他的私钥d来解码。他可以用以下这个公式来将c转换为n：
cd ≡ n (mod N)
得到n后，他可以将原来的信息m重新复原。

其他的概念

素数

素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数

互质数

互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

指数运算

指数运算又称乘方计算，计算结果称为幂。nm指将n自乘m次。把nm看作乘方的结果，叫做”n的m次幂”或”n的m次方”。其中，n称为“底数”，m称为“指数”。

模运算

模运算即求余运算。

同余

当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。

会话密钥

前提：对称加密速度要比非对称加密快速。会话密钥是一个随机生成的对称式加密密钥，举个例子：A和B交互，A随机挑了一个字符串，用B的公钥加密发给了B，告诉B这个随机字符串就是他们之间用来交流的密钥了，之后A和B的报文就可以不用公私钥非对称加密，直接用这个密钥对称加密即可。对称式加密算法有很多：AES/DES等。SSH通信的数据就是用AES之类的对称式加密算法加密的。(在SSH协商密钥的过程中，还会使用专门的密钥协商算法（Key Exchange Algorithm），确保窃听者无法偷听到密钥的内容)