三个水桶等分8升水的问题 -《算法的乐趣》

智力题目

有三个容积分别为3升、5升、8升的水桶，其中容积为8升的水桶中装满了水，容积为3升和容积为5升的水桶都是空的。三个水桶都没有刻度，现在需要将大水桶中的8升水等分成两份，每份都是4升水，附加条件是只能这三个水桶，不能借助其他辅助容器。

“恩，是的，这是一个很经典的问题。”

“然而，我们并不能想全，不信请继续往下看。”

答案

”废话不多说，直接看方法吧。“

第一种（7步）

1. 将8L的水桶中的水，倒满5L的水桶，这时：8L水桶为3L、5L水桶为5L、3L水桶为0L
2. 将5L的水桶中的水，倒满3L的水桶，这时：8L水桶为3L、5L水桶为2L、3L水桶为3L
3. 将3L的水桶中的水，倒入8L的水桶，这时：8L水桶为6L、5L水桶为2L、3L水桶为0L
4. 将5L的水桶中的水，倒入3L的水桶，这时：8L水桶为6L、5L水桶为0L、3L水桶为2L
5. 将8L的水桶中的水，倒入5L的水桶，这时：8L水桶为1L、5L水桶为5L、3L水桶为2L
6. 将5L的水桶中的水，倒满3L的水桶，这时：8L水桶为1L、5L水桶为4L、3L水桶为3L
7. 将3L的水桶中的水，倒入8L的水桶，这时：8L水桶为4L、5L水桶为4L、3L水桶为0L

第二种（8步）

1. 将8L的水桶中的水，倒满3L的水桶，这时：8L水桶为5L、5L水桶为0L、3L水桶为3L
2. 将3L的水桶中的水，倒入5L的水桶，这时：8L水桶为5L、5L水桶为3L、3L水桶为0L
3. 将8L的水桶中的水，倒满3L的水桶，这时：8L水桶为2L、5L水桶为3L、3L水桶为3L
4. 将3L的水桶中的水，倒满5L的水桶，这时：8L水桶为2L、5L水桶为5L、3L水桶为1L
5. 将5L的水桶中的水，倒入8L的水桶，这时：8L水桶为7L、5L水桶为0L、3L水桶为1L
6. 将3L的水桶中的水，倒入5L的水桶，这时：8L水桶为7L、5L水桶为1L、3L水桶为0L
7. 将8L的水桶中的水，倒满3L的水桶，这时：8L水桶为4L、5L水桶为1L、3L水桶为3L
8. 将3L的水桶中的水，倒入5L的水桶，这时：8L水桶为4L、5L水桶为4L、3L水桶为0L

我相信答案肯定不止两个，到底有多少种答案？

带着这个疑问，我们来设计一个算法吧。

问题分析

人的思维

解决这个问题的关键是怎么通过倒水凑出确定的1升水或能容纳1升水的空间。

例如，当8L水桶或5L水桶或3L水桶有1L水时，都能快速倒出4L水。

计算机思维

“穷举法”

水桶初始状态：8L水桶装满水，3L和5L的水桶为空。
水桶最终状态：3L水桶为空，5L和8L的水桶各4L水。

假设将每个状态下三个水桶中的水的体积作为status。

从 $status = array(8,0,0) 得到 $status = array(4,4,0)。

当然还会有一些限制：

1.各个水桶的都有最大值：

0 <= status[0] <= 8;

0 <= status[1] <= 5;

0 <= status[2] <= 3;

2.当前倒水之后各个水桶的状态，与历史倒水之后各个水桶的状态，不能相同。

3.当前水桶为空时，不能倒给其他水桶。

4.当前水桶为最大容积时，其他水桶不能再向这个水桶倒水。

程序代码（PHP）

/**
 * 三个水桶等分8升水的问题，代码示例(php)
 * @author 訢亮
 */

$bucket_limit = [8, 5, 3];
$bucket_value = [8, 0, 0];
$bucket = new Bucket($bucket_value, $bucket_limit, []);
$result = $bucket->getResult();

echo "一共有 ".count($result)." 种倒水方法，方法如下：<br> <pre>";
print_r($result);

class Bucket
{

    static protected $_change_bucket_path = []; //倒水的过程记录

    protected $_bucket_values;  //每个水桶的当前容积
    protected $_bucket_limit;   //每个水桶的容积阈值
    protected $_history_status; //所有历史水桶容积状态的集合

    public function __construct($bucket_value = [], $bucket_limit = [], $history_status = [])
    {
        $this->_bucket_values  = $bucket_value;
        $this->_bucket_limit   = $bucket_limit;
        $this->_history_status = array_merge($history_status, [$this->_bucket_values]);

        $this->run();
    }


    public function run() {
        for ($i=0; $i<count($this->_bucket_values); $i++) {
            for ($j=$i+1; $j<count($this->_bucket_values); $j++) {
                $this->changeBucketValue($i, $j);
                $this->changeBucketValue($j, $i);
            }
        }
    }

    public function getResult() {
        return self::$_change_bucket_path;
    }


    /**
     * 倒水
     * @param int $target_idx  目标水桶（被倒水的水桶）
     * @param int $current_idx 当前水桶（倒水的水桶）
     * @return bool
     */

    protected function changeBucketValue($target_idx = 0, $current_idx = 0) {
        $value = $this->_bucket_values;
        if ($target_idx == $current_idx ||
            $this->_bucket_values[$current_idx] == 0 ||
            $this->_bucket_values[$target_idx] == $this->_bucket_limit[$target_idx]
        ) {
            return false;
        }

        if (($this->_bucket_limit[$target_idx] - $this->_bucket_values[$target_idx]) <= $this->_bucket_values[$current_idx]) {
            $water = $this->_bucket_limit[$target_idx] - $this->_bucket_values[$target_idx];
        } else {
            $water = $this->_bucket_values[$current_idx];
        }

        $value[$target_idx] += $water;
        $value[$current_idx] -= $water;

        if ($value === [4,4,0]) {
            self::$_change_bucket_path[] = array_merge($this->_history_status, [$value]);
        } else {
            if (!$this->checkBucketStatus($value)) {
                new Bucket($value, $this->_bucket_limit, $this->_history_status);
            }
        }
    }

    /**
     * 验证当前水桶状态是否存在过
     * @param array $current_status 当前水桶状态
     * @return bool
     */
    protected function checkBucketStatus($current_status = []) {
        foreach ($this->_history_status as $k) {
            if ($current_status === $k) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

运行结果

一共有 16 种倒水方法，方法如下：

…

（16种方法，贴上去太长了，大家在本地尝试下。）

小结

运行代码之后，一共找到了 16 种倒水的方法，最快的方法需要 7 个步骤。

“怎么样，是不是没想到会有这么多方法吧，去考考你身边的小伙伴吧。”

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