《计算机科学与数学》1.7 分情况证明

将一个复杂的证明拆分为多个情况，然后分别证明每种情况是一种共同的、有用的策略。有一个有趣的例子。

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让我们一致同意给出任意两个人，要么见过，要么没见过。如果一组人中的每对人已经见过了，我们称该组为社团，如果一组人中的每对人没有见过，我们称该组为陌生人。

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定理。每6个人的集合中包含3个人的社团或者3个陌生人群组。

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证明。分情况分析（1）。用x表示六个人中的一个。有两种情况：

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1. 除了x之外的其他5个人中，至少3个人已经见过x。
2. 其他5个人中，至少3个人没有见过x。

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现在，我们必须确保至少两种情况中的一个一定成立（2），但那很简单：我们已经将5个人分成两组了，一组已经和x握过手了，另一组则没有，所以其中一组人至少拥有一半人。

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‌ 情况一：假设至少3人已经见过x了。 ‌

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该情况分为两种子案例： ‌

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案例 1.1：那5个人没有一对人互相见过。那么这些人组成一个至少3 人的陌生人群组。该定理在此子案例中成立。

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案例 1.2：那5个人存在某对人互相见过。那么这对人再加上x，组成一个3 人的社团群组。所以该定理在此子案例中成立。

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这表明该定理在情况一中成立。

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情况二：假设至少3人没有见过x。 ‌

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该情况也分为两种子案例： ‌

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案例 2.1：那5个人中两两之间互相见过。那么这些人组成一个至少3 人的社团群组。因此该定理在此子案例中成立。

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案例 2.2：那5个人存在某对人没有互相见过。那么这对人再加上x，组成一个3 人的陌生人群组。所以该定理在此子案例中成立。

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这表明该定理在情况二中成立，因此在所有情况下都成立。

（1）从开头描述你的方法有助于引导读者。

（2）案例分析论证的部分是表明你已经涵盖了所有案例。这通常是显而易见的，因为这两种情况的形式是“P”和“非P”。然而，上述情况并不是很简单地说明。