ZFC公理对于研究和证明数学基础是重要的，但是出于实用的目的，它们太原始了。用ZFC公理系统证明定理有点像使用字节码编程而不是用成熟的编程语言——按某一计算方式，使用ZFC，一个常规的证明2 + 2 =4，需要超过20000个步骤！因此不从ZFC开始，我们将使用大量公理集作为我们的基础：我们将接受高中数学中所有熟悉的事实。

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这么做会让我们很快起步，但是一会发现这些不精确的公理规范令人困惑。例如，在一个证明过程中，你可能会开始疑惑，“我必须证明这个小事实，还是可以把它当作一个公理？“确实没有绝对的答案，因为合理的假设和需要证明的内容取决于环境和观众。一个好的一般性的指导原则就是提前了解你的假设。

1.4.1 逻辑推理

‌逻辑推理，或者推理规则 是用来使用先前已经被证明的命题去证明新的命题。

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一个基础的推理规则是假言推理。该规则说，P 的证明与 P表示Q 的证明一起即Q的证明。

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推理规则有时候被写成古怪的符号。比如，假言推理 被写成：

当横线上面被称作前因 的条件被证明的时候，那么我们可以认为横线下面被称作结论 或者后项 的条件也被证明了。

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一个推理规则的关键要求是它必须是合理的：分配真值给字母P，Q，...，使得所有前因 为真后，也必然使得所有结果为真。所以，如果我们从真公理开始，应用合理的推理规则，我们证明的一切都将是真的。

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还有许多其它自然的、合理的推理规则，例如：

与公理一样，我们不会对合法的推理规则集过于正式。证明的每一步应该是清晰且“合理的”；特别地，你应该说明先前证明的事实是用来得出每个新结论的。

1.4.2 证明模式

原则上，一个证明可以是任何逻辑推理序列，该序列来自公理及先前在讨论中被证明过的、从命题中总结出来的陈述。一开始，建立证明的自由性似乎是巨大的。那你怎么开始一个证明呢？

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好消息是：许多证明遵循少量模板中的一个。当然，每个证明拥有自己的细节，但是这些模板至少可以提供一个大纲来填充。我们将仔细讲解几个这样的模板，以指出基本的思想和常见的陷阱并且给出一些例子。这些模板中的许多可以组合在一起；某一个模板提供一个顶层大纲而其它的模板帮你进入下一层级的细节。之后我们将向您展示其他更复杂的证明技巧。

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下面的诀窍有时是非常具体的，确切地告诉你在你的纸上写下哪个单词。你当然可以自由地用自己的方式表达；我们只是给你一些你能够表达的事情，这样你就永远不会完败。