面试 4：老师讲的递归解决斐波那契数列真的好吗

在搞「模拟面试」的日子，我发现大家普遍有个问题就是，感觉自己的能力总是到了瓶颈期，写了好几年代码，感觉只是会的框架比以前多了而已。去大公司面试，屡战屡败，问失败原因，大多数人的答案都是，在三面数据结构与算法的时候，直接就挂了。

而不少人表示，我数据结构与算法潜心修炼，把书都啃烂了，倒背如流，但每次一面试，咋就是不会呢？

归根结底，还是思维训练的问题，很多人知其然而不知其所以然，所以，南尘就尽量地贴近大家的常态化思维去帮助大家训练算法吧。

昨天已经给大家预告了，不知道小伙伴们下来有没有去自己尝试处理。但不管怎样，要想训练好算法，但听别人讲不去思考，是肯定没用的。好了废话不多说，进入正题！

来到今天的面试题

面试题：一直青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级，求该青蛙跳上 n 级的台阶总共有多少种跳法。

题目来源于《剑指 Offer》

一看这道题，好像没啥思路，感觉和我们的数据结构和常用的算法好像一点都不沾边。

但这看起来就像一道数学题，而且似乎就是高考数学的倒数第一题，所以我们就用数学来做吧。

数学中有个方法叫「数学归纳法」，我们这里就可以巧妙用到。

1. 当 n = 1 时，青蛙有 1 种跳法；

2. 当 n = 2 时，青蛙可以选择一次跳 1 级，跳两次；也可以选择一次跳 2 级；青蛙有 2 种跳法；

3. 当 n = 3 时，青蛙可以选择 1-1-1，1-2，2-1，青蛙有 3 种跳法；

4. 当 n = 4 时，青蛙可以选择 1-1-1-1，1-1-2，1-2-1，2-1-1，2-2，青蛙有 5 种跳法；

5. 似乎能得到 f(3) = f(2) + f(1)，f(4) = f(3) + f(2)，这是 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  的节奏？我们得用 n = 5 验证一下。

6. 当 n = 5 时，青蛙可以选择 1-1-1-1-1，1-1-1-2，1-1-2-1，1-2-1-1，2-1-1-1，1-2-2，2-1-2，2-2-1，青蛙有 8 种跳法，f(5) = f(4) + f(3) 成立。

这是最笨的方法了，得出了这确实就是一个典型的斐波那契数列，唯一不一样的地方就是 n =2 的时候并没有 f(2) = f(0) + f(1)。

稍微有点思维能力的可能更简单。

1. n = 1 ，青蛙有 1 种跳法；

2. n = 2 ，青蛙有 2 种跳法；

3. n = 3，青蛙在第 1 级可以跳 1 种，后面 2 级相当于 f(3-1) = f(2)，还有一种就是先跳 2 级，然后后面 1 级有 f(3-2) = f(1) 种跳法，可以得出 f(3) = f(2) + f(1)；

4. ...

5. 当取 n 时，青蛙在第一次跳 1 级，后面的相当于有 f(n-1) 种跳法；假设第一次跳 2 级，后面相当于有 f(n-2) 种跳法；故可以得出 f(n) = f(n-1) + f(n-2)；

这样思考可能更不容易出错吧，这就是思维的提炼过程，可见我们高考常考的「数学归纳法」是多么地有用。

既然能分析出这是一道典型的斐波那契数列了，我想教科书都教给大家方法了，不过一定要注意 n = 2 的时候，正常的斐波那契数列值应该是 1，而我们是 2。大多数人肯定会写出下面的代码：

public class Test09 {    private static int fn(int n) {        if (n <= 0)            return 0;        if (n == 1)            return 1;        if (n == 2)            return 2;        else
            return fn(n - 1) + fn(n - 2);
    }    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fn(1));
        System.out.println(fn(2));
        System.out.println(fn(3));
        System.out.println(fn(4));
    }
}

我们教科书上反复用这个问题来讲解递归函数，但并不能说明递归的解法是最适合这个题目的。当我们暗自窃喜完成了这道面试题的时候，或许面试官会告诉我们，上面的这种递归解法存在很严重的效率问题，并让我们分析其中的原因。

我们以求 fn(10) 为例，要想求得 fn(10)，需要先求得 fn(9) 和 fn(8)；同样，要求得 fn(9)，需要先求得 fn(8) 和 fn(7)......

这存在一个很大的问题，我们一定会去重复计算很多值，我们一定得想办法把这个计算好的值存放起来。

避免重复计算

既然我们找到了问题所在，那改进方法自然是信手拈来了。我们目前的算法是「从大到小」计算，而我们只需要反向「从小到大」计算就可以了。我们根据 fn(1) 和 fn(2) 计算出 fn(3)，再根据 fn(2) 和 fn(3) 计算出 fn(4)......

很容易理解，这样的算法思路时间复杂度是 O(n)，实现代码如下：

public class Test09 {    private static long fn(int n) {        if (n <= 0)            return 0;        if (n == 1)            return 1;        if (n == 2)            return 2;        long prePre = 1, pre = 2;        long result = 0;        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            result = prePre + pre;
            prePre = pre;
            pre = result;
        }        return result;
    }    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fn(1));
        System.out.println(fn(3));
        System.out.println(fn(50));
        System.out.println(fn(100));
    }
}

上面的代码，一定要注意做了一点小修改，我们把返回值悄悄地改成了 long ，因为我们并不能保证客户端是否会输入一个比较大的数字，比如：100，这样，如果返回值为 int，一定会因为超出了最大值而显示错误的，解决方案就是把值换为更大容量的 long。但有时候你会发现，long 的容量也不够，毕竟整型和长整型，它都会有最大显示值，在遇到这样的情况的时候。我们最好和面试官交流一下，是否处理这样的情况。如果一定要处理这样的情况，那么可能你就得用 String 来做显示处理了。

其实在《剑指 Offer》上还有时间复杂度为 O(logn) 的解法，但因为不够实用，我们这里也就不讲解了，主要还是我们解题的算法思路训练。如果真的很感兴趣的话，那就请移步《剑指 Offer》吧。反正你在公众号后台回复「剑指Offer」就可以拿到 PDF 版本的。

总结

作者：nanchen2251
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