今天我们来讲解一下上一篇的课后习题。

1. 题目

编程实现把1~9九个数字填入九宫格中，满足每行、每列和对角线上的三个数字和为15。如图所示。

注意：由于结果不唯一，只要打印出一种满足条件的结果即可。

2. 分析

这道题目很多同学拿到后觉得无从着手，完全和学过的知识没有一点联系。其实，这道题用到的就是学过的知识。

2.1 建模

首先，这道题是一个3 * 3的二维数组，要把9个数填进去。在众多的可能性中找到一个满足条件的即可。

接下来，我们想想之前讲到的二维数组和一维数组的关系，是不是可以把这道题转化成一个9个元素的一维数组，把9个数字排列组合放进这个数组中。这就和之前抛硬币的那道题有几分相像了。

如图所示，可能出现的情况应该共有9!种。我们要做的就是编程穷举出所有的可能性，在这个过程中判断每种可能性是否满足题目要求。

注意：这个解法并不是最优解，但却是最适合初学者学习的。我在如何评价一段代码中已经阐明了我的观点。

2.2 功能分解

有了一个基本的模型，我们可以把问题转化为几个子功能：

• 计算排列组合

列举出所有的可能，拿到9!个二维数组。

• 判断

判断得到的每个结果是否符合要求。

3. 判断功能

判断的条件比较简单，就是要每行数字、每列数字和两个对角线的数字之和均为15。大部分人很容易想到这种写法：

#define MAX_SIZE 3int g_arr[MAX_SIZE][MAX_SIZE];int Calculate(){    int i, j, sum;    // 计算3行
    for (i = 0; i < MAX_SIZE; i++)
    {
        sum = 0;        for (j = 0; j < MAX_SIZE; j++)
        {
            sum += g_arr[i][j];
        }        if (sum != 15)
        {            return 0;
        }
    }    
    // 计算3列
    for (i = 0; i < MAX_SIZE; i++)
    {
        sum = 0;        for (j = 0; j < MAX_SIZE; j++)
        {
            sum += g_arr[j][i];
        }        if (sum != 15)
        {            return 0;
        }
    }    
    // 计算对角线
    sum = 0;    for (i = 0; i < MAX_SIZE; i++)
    {
        sum += g_arr[i][i];
    }    if (sum != 15)
    {        return 0;
    }
    
    sum = 0;    for (j = 0; j < MAX_SIZE; j++)
    {
        sum += g_arr[i][MAX_SIZE- 1 - j];
    }    
    if (sum != 15)
    {        return 0;
    }    
    return 1;
}

Calculate()函数的功能是判断二维数组g_arr是否满足要求，如果满足返回1，如果不满足返回0。

这个函数功能上没有问题，但使用了太多次循环，执行效率太低。不过细心的同学肯定已经发现有些统计其实可以合并在一起做。我对这段代码做了优化，修改如下：

int Calculate(){    int i, j;    int sumLine, sumCol, sumDL1, sumDL2;
    sumDL1 = 0;
    sumDL2 = 0;    for (i = 0; i < MAX_SIZE; i++)
    {
        sumLine = 0;
        sumCol = 0;        for (j = 0; j < MAX_SIZE; j++)
        {
            sumLine += g_arr[i][j];
            sumCol += g_arr[j][i];
        }        if (sumLine != 15 || sumCol != 15)
        {            return 0;
        }

        sumDL1 += g_arr[i][i];
        sumDL2 += g_arr[i][MAX_SIZE- 1 - i];
    }    if (sumDL1 != 15 || sumDL2 != 15)
    {        return 0;
    }    return 1;
}

这段代码只用了一组嵌套的for循环，通过四个变量统计出了所有数据。变量sumLine和sumCol分别用来计算每一行和每一列的数字之和。这里只是在循环中修改了一下i和j的下标顺序就完成了两个维度的统计。变量sumDL1和sumDL2分别计算了两条对角线上数字之和。

sumDL1 += g_arr[i][i];
sumDL2 += g_arr[i][MAX_SIZE- 1 - i];

这两行代码用了在天花板编程手把手计划-第1期-第2天中介绍的方法，忘记的同学可以回去复习。

4. 打印

这里依然需要一个二维数组打印的函数，这和前面几个题目相似，不用多说了。

void PrintMap(){    int i, j;    for (i = 0; i < MAX_SIZE; i++)
    {        for (j = 0; j < MAX_SIZE; j++)
        {            printf("%3d ", g_arr[i][j]);
        }        printf("\n");
    }    printf("\n");
}

5. 计算排列组合

这里依然需要用到一个递归的方法。每一次递归都给一个对应的位置填写一个数字。这里和抛硬币问题有一个唯一的不同，就是每个数字只能填一次。

5.1 排除法

Aha_斌同学是第一个完成这道题目的，他用的办法是这样。

首先，用抛硬币的方法找出允许重复情况下的可能矩阵。之后逐一判断，如果发现有重复数字就舍弃那种情况。

这个解法很聪明，一下就解决了问题，而且不需要太复杂的算法。代码大家可以去参考他发的作业帖。

5.2 用数字作递归条件

我要介绍的算法是另外一个思路，不是按照每个空格去递归，而是按照数字去递归。通过递归的方式执行九次动作，每次负责把一个数填在一个空格中。这样永远不会出现重复数字的问题。

图中用A~I表示9个空格，整个递归的过程是一棵不规则的N叉树。根结点有9个子节点，第一层的每个节点有8个子节点，第二层的每个节点有7个子节点，以此类推。图中只画出了一个分支的前三次迭代。

现在剩下最后一个问题，每次递归时如何为不同的层执行不同次数的递归呢？

方法一：状态恢复法

另外创建一个二维数组纪录下当前被使用的格子和未使用的格子。每层递归函数返回时把填写过的格子更新成未使用的格子。

这个方法很容易想，但要多维护一个二维数组，而且有太多批量赋值的工作，不适合初学者。

方法二：利用数字特性

我使用了一种更巧妙的方法，我先把九个格子都初始化为0，再让递归按照从大到小的顺序填写数字，当空格中存在比当前数字小的数字时，说明这个格子没有在这个分支中被使用过。

代码如下：

int g_cnt = 0;void FillBlank(int num){    int i;    int nBak;    int* pArr = (int*)g_arr;    if (num <= 0)
    {        if (Calculate() == 1)
        {
            PrintMap();
        }        printf("%d\r", g_cnt++);        return;
    }    for (i = 0; i < MAX_SIZE * MAX_SIZE; i++)
    {        if (num >= pArr[i])
        {
            nBak = pArr[i];
            pArr[i] = num;
            FillBlank(num - 1);
            pArr[i] = nBak;
        }
    }
}

函数FillBlank()的功能是把数字num填在一个空格中。每一层递归函数调用下一层函数时，传递一个num - 1。当参数为0时，说明这个分支到达最低端的叶子节点。这时候二位数组中保存的是一个完成的可能。通过Caculate()函数判断它是否符合题意，如果符合就打印出来。这里打印的是所有符合题意的可能。

在FillBlank()中，我们通过一个循环遍历九个空格，当要填写的数字大于格子中的数字时，说明可以填写。这样就保证了每一层的填写次数正确。

最后，在填写数字之前，需要先用nBak变量保存空格中原有的数字，在这一轮递归结束后要恢复回来。原因大家好好思考一下。

注意：由于穷举的次数太多，等待的过程会比较漫长，我们在这里加入了一个显示当前寻找次数的功能。全局变量g_cnt记录了找到的可能性次数，通过printf("%d\r", g_cnt++);不断打印在屏幕上。

6. 功能调用

main()函数变得非常简单：

int main(){
    FillBlank(9);    return 0;
}

我们执行一下，效果如下：

7. 留下一种结果

对现有的程序稍作修改，我们只需要一个符合题意的结果即可。代码如下：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include #include #define MAX_SIZE 3int g_arr[MAX_SIZE][MAX_SIZE] = { 0 };int Calculate(){    int i, j;    int sumLine, sumCol, sumDL1, sumDL2;
    sumDL1 = 0;
    sumDL2 = 0;    for (i = 0; i < MAX_SIZE; i++)
    {
        sumLine = 0;
        sumCol = 0;        for (j = 0; j < MAX_SIZE; j++)
        {
            sumLine += g_arr[i][j];
            sumCol += g_arr[j][i];
        }        if (sumLine != 15 || sumCol != 15)
        {            return 0;
        }

        sumDL1 += g_arr[i][i];
        sumDL2 += g_arr[i][MAX_SIZE - 1 - i];
    }    if (sumDL1 != 15 || sumDL2 != 15)
    {        return 0;
    }    return 1;
}void PrintMap(){    int i, j;    for (i = 0; i < MAX_SIZE; i++)
    {        for (j = 0; j < MAX_SIZE; j++)
        {            printf("%3d ", g_arr[i][j]);
        }        printf("\n");
    }    printf("\n");
}int g_cnt = 0;int g_return = 0;void FillBlank(int num){    int i;    int nBak;    int* pArr = (int*)g_arr;    if (g_return == 1)
    {        return;
    }    if (num <= 0)
    {        if (Calculate() == 1)
        {
            PrintMap();
            g_return = 1;
        }        printf("%d\r", g_cnt++);        return;
    }    for (i = 0; i < MAX_SIZE * MAX_SIZE; i++)
    {        if (num >= pArr[i])
        {
            nBak = pArr[i];
            pArr[i] = num;
            FillBlank(num - 1);
            pArr[i] = nBak;
        }
    }
}int main(){
    FillBlank(9);    return 0;
}

执行效果如下：

由于这个递归方法比较抽象，不理解的同学可以在群里提问，我再仔细讲解一下。

8. 课后练习

给出一组代数表达式，请编程判断出他们的括号是否配对正确。

8.1 输入内容

5[a+(b+c)]*(a+b]
(a-1+b)-(b+c)x-[a*(b+c))]a+(b+c+(d-(e+m))a+b+[c-d*e-(a-b)-c]

第一行中的5表示共有5个表达式需要判断。下面的每一行有一个表达式。要求把这组数据原样保存在文件input.txt中，通过读文件的方式读入数据完成判断。

8.2 输出

括号匹配正确打印1，匹配错误打印0。正确的输出结果应该是：

0
1
0
0
1

作者：天花板
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