数据结构与算法-堆

堆是一种特殊类型的二叉树，具有以下两个性质：

• 每个节点的值大于等于(或小于等于)其每个子节点的值

• 堆属于完全二叉树

就像这样：

上图是大顶堆，如果每个节点小于等于其每个子节点的值，那它就是小顶堆。

有趣的是，堆可以通过数组来实现。例如，数组 data = [50 43 49 15 28 40 30 5 10 23 15 20] 可以表示上面的堆。数组中元素的排放顺序表示节点按照从顶到底、每一层从左到右的顺序放置。堆之所以可以放到数组中，是因为它是一颗完全二叉树。可以根据任意节点的下标，通过公式计算出子节点的下标。假设节点P的下标为i，那么节点P的左子节点下标为2i + 1，右子节点下标为2i + 2，相关证明过程可以看这里数据结构与算法-二叉树性质。我们这里就以数组来实现堆结构，探讨相关的创建、插入、删除、运用的逻辑。

• 创建

堆的创建有两种方式。第一种是自上向下从一个空数组中创建堆，第二种是自下向上将已有的数组调整为堆。首先探讨自上向下的逻辑。

1、自上向下

从一个空数组开始，每一个新节点都放到当前堆的末尾，如果发现插入节点之后破坏了堆的特性，那么将新节点与其父节点进行交换，直至重新调整为堆。假如现在有一段数据流：

49 50 43 15 28 40 5 25 10 23 30 20 55

自上向下的过程：

核心逻辑在于每次插入新节点之后，如果破坏了堆的结构，只要和父节点进行交换，直至调整为堆即可。该算法的时间复杂度有O(nlgn)，不是很理想，数据量比较大时不适合这种方案。

2、自下向上

一颗完整的二叉树可以分解成根节点，左子树，右子树。对于左右子树又可以分解成更多的子树。如果我们将树中的每个节点都看做一颗树，只要每棵树符合堆的特性，那么整棵树也是符合堆的特性的。基于以上思想，前人提出了一种自下向上的创建堆地方式。树中最小的子树其实是叶子节点，由于叶子节点没有子树，可以认为是符合堆的特性的。所以，我们就从最后一个非叶子节点开始，按照从下向上，从右到左的顺序，调整每个子树符合堆的特性，直到根节点，那么整棵树就成了堆。

假设一共有n的元素，最后一个非叶子节点的下标是多少呢？答案是n/2 -1。证明如下：

假设堆中度为0、度为1、度为2的节点分别有n0、n1、n2个，那么n = n0 + n1 + n2，又知道n0 = n2 +1，证明方式在数据结构与算法-二叉树性质。那么n = 2*n2 + n1 +1。

• n1如果为0

那么最后一个非叶子节点的下标为n2 - 1，即(n - n1 - 1)/2 - 1= n/2 - 3/2，由于n = 2*n2 + 1是奇数，所以n/2 - 1向下取整等于n/2 - 3/2。

• n1如果为1

那么最后一个非叶子节点的下标为n2，即(n - n1 -1)/2 = n/2 - 1。

对于完全二叉树来讲，n1要么为0要么为1。因此，综上所述，最后一个非叶子节点的下标为n/2 - 1。

既然找到了最后一个非叶子节点P，那就从P节点开始自下向上，自右向左的调整每一个遇到的子树为堆，最终整棵树成为堆。

假设现在存在数组data = [39 50 43 15 28 40 5 25 10 23 30 20 55]，展开之后是这样的：

按照自下向上的算法调整是这样的：

该算法的时间复杂度是O(n)，通常情况下优于自上向下创建堆的方式。

• 添加

在堆中插入一个新的元素，通常会放入到数组的末尾，如果插入到头部或者中间某个位置，有两个缺陷。第一，会移动数组里大量数据，第二，严重破坏堆结构，只能依靠自下向上的方式调整所有子树，才能保持整棵树的堆结构，得不偿失。

如果将新元素插入到数组末尾，仅仅有可能破坏少量子树的堆结构，也能在短时间内调整完毕。假如有以下堆结构：

在末尾插入60节点，调整方式如下：

可以发现，无论是自上向下创建堆还是自下向上调整堆，又或者在堆中插入新的元素，核心逻辑总是调整堆的过程。关键在于，二叉树中每个节点总是有两个身份，既是某颗子树(P子树)的根节点，也是其父节点所在树(Q子树)的子节点。调整堆的过程其实就是既要保证P子树是堆，也要保证Q子树是堆。

• 删除

在堆中删除某个元素，通常我们会删除堆的根节点，因为它是有价值的，要么是最大值要么是最小值。为了避免删除头结点之后数组元素大量移动，前人想出一个巧妙的方式。那就是将最后一个叶子节点和根结点进行交换。最后一个叶子节点成了根节点，根节点成了最后一个叶子节点。这时，我们删除元素不必移动数组数据，但是破坏了堆结构，怎么办呢？老样子，调整堆，调整方式和上面介绍的方法一致，就不多说了。

我们当然可以删除数组中任一元素，方法和删除根节点是一致的。但是，我们往往不会这么做，因为在堆中除了根节点，其他元素没有特别的地方，价值不大。

• 运用

我们已经了解堆的创建、添加、删除，那它有什么用处呢？

答案是优先队列。对于堆来说，新元素总是插入到数组末尾，被删除元素总是根节点，并且要么是最大的要么是最小的，这不就是优先队列吗？在数据结构与算法-栈与队列中，我们推荐使用链表来实现队列，这对于普通的队列是可以的，因为普通队列保持的是数据插入时的次序。但是对于优先队列就不合适了，数据插入到优先队列之后，需要依靠优先级排序，从队列弹出的数据总是优先级最大(最小)的元素。如果使用链表来实现优先队列，操作复杂度是O(n)，但是如果使用数组，将数据按照堆结构排列，那么操作复杂度仅仅有O(lgn)，这是非常吸引人的。并且，标准库中的优先队列就是以向量实现的。

堆的另外一个运用是对数据进行排序，称之为堆排序。

算法逻辑很简单，就是不停的删除根节点、调整堆的过程。那么，数据就会以从大到小或者从小到大的顺序从堆中删除。堆排序的操作复杂度有O(nlgn)，算不上很优秀，但至少比冒泡、插入这些算法要好用。

堆的内容到这里已经探讨完毕，更多内容就需要在实践中摸索了。

数据结构与算法-kd二叉树(基础)