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二叉搜索树（BinarySearchTrees）

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深度学习

1.什么是二叉搜索树

　　如下图所示：15为树的根节点，10为15的左节点，20为15的右节点，下面的节点如此类推。

　　每个父节点都有两个子节点（子节点可能为空），左子节点比父节点小，右子节点比父节点大。

2.二叉搜索树的各种功能

一、节点

　　每个节点应该含有两个子节点，一个可以进行比较的key（本文使用的是int）。节点可以根据需求来含有其它附属内容，本文为了方便测试，节点含有一个String和记录该节点下面共有多少个节点（包括自己）的Count。

　　节点实现：

UCLASS()class ALGORITHM_API ATreeNode : public AActor
{
    GENERATED_BODY()    
public:    
    // Sets default values for this actor's properties    ATreeNode();    // Called every frame
    virtual void Tick(float DeltaTime) override;    //设值
    FORCEINLINE void SetValue(int Newkey, FString NewValue)
    {
        Key = Newkey;
        Value = NewValue;
    }

    FORCEINLINE ATreeNode* Get() { return this; }    //获取或修改私有变量
    FORCEINLINE int GetKey() { return Key; }
    FORCEINLINE void SetKey(int NewKey) { Key = NewKey; }
    FORCEINLINE int GetCount() { return Count; }
    FORCEINLINE void SetCount(int NewCount) { Count = NewCount; }
    FORCEINLINE FString GetValue() { return Value; }
    FORCEINLINE void SetValue(FString NewValue) { Value = NewValue; }
    FORCEINLINE ATreeNode* GetNode(bool Left)
    {        if (Left) return LeftNode;        return RightNode;
    }
    FORCEINLINE void SetNode(bool Left, ATreeNode* NewNode)
    {        if (Left)  LeftNode = NewNode;        else
        {
            RightNode = NewNode;
        }
    }protected:    // Called when the game starts or when spawned
    virtual void BeginPlay() override;private:    int Key;
    FString Value;    //左右节点
    ATreeNode* LeftNode;
    ATreeNode* RightNode;    //计算此节点下面共用多少个节点（包括自己）
    int Count;
};

二、查找

　　如果想查找某个数字X，从根节点开始比较。如果X比根节点大，则去与根节点的右节点比较，如此类推，直到找到X（或子节点为空）为止。

　　例如上图二叉搜索树中，如果想找25：

　　从根节点开始比较：25>15。去根节点右边，与下一个节点（20）比较，结果25>20。接着去右边，与下一个节点（25）比较，结果25=25，查找成功。

　　代码实现：

FString ABinarySearchTrees::GetValue(int InputKey)
{
    ATreeNode* X = RootNode;    while (X != nullptr)
    {        //比较key的大小
        int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());        //如果输入的key比X的小，去X的左边
        if (Temp < 0) X = X->GetNode(true);        //如果输入的key比X的大，去X的右边
        else if (Temp > 0) X = X->GetNode(false);        //如果相等，说明找到这个key了，输出Value
        else return X->GetValue();
    }    //如果X为空指针，说明找不到这个key
    return "NotFind";
}

三、插入新节点

　　如果新节点的key在树中已经存在，则把旧节点覆盖；如果没有，则插入。

　　与查找类似，设新节点的key为X，从根节点开始比较。如果X比根节点大，则去与根节点的右节点比较。如此类推，如果找到了某个节点的key与X相同，覆盖这个节点；如果没找到，则根据最后一次比较结果，插到最后一次比较的节点的左节点或右节点。

实现代码:

void ABinarySearchTrees::Put(int Newkey)
{    //每次插入前，都清空路线信息
    RouteString = "";    //每次插入新节点都要更新根节点
    RootNode = Put(RootNode, Newkey);
    RootNode->SetValue(": Root");
    
}

ATreeNode* ABinarySearchTrees::Put(ATreeNode* X, int NewKey)
{    //如果X不存在，创造一个
    if (!X)
    {
        ATreeNode* NewNode = GetWorld()->SpawnActor<ATreeNode>(ATreeNode::StaticClass());
        NewNode->SetValue(NewKey, RouteString);        //节点存起来，方便测试        NodeArray.Add(NewNode);        //新节点自己算一个节点
        NewNode->SetCount(1);        return NewNode;
    }    int Temp = CompareTo(NewKey, X->GetKey());    //如果要插入新节点，则新节点的所有父节点都要更新一次
    if (Temp < 0)
    {
        RouteString.Append(": Left");
        X->SetNode(true, Put(X->GetNode(true), NewKey));
    }    else if (Temp > 0)
    {
        RouteString.Append(": Right");
        X->SetNode(false, Put(X->GetNode(false), NewKey));
    }    else
    {
        X->SetValue(RouteString);
    }    //更新X节点的Count
    X->SetCount(1 + Size(X->GetNode(true)) + Size(X->GetNode(false)));    return X;
}

四、查找最小值、最大值

　　查找最小值：因为二叉搜索树中，左节点比父节点小，故最小值肯定在树的左下角。从根节点开始，判断它的左节点存不存在。如果存在，继续找这个左节点的左节点，如此类推，直到找到某个节点的左节点不存在时，此节点就是最小值。

　　查找最大值：因为二叉搜索树中，右节点比父节点大，故最大值肯定在树的右下角。从根节点开始，判断它的右节点存不存在。如果存在，继续找这个右节点的右节点，如此类推，直到找到某个节点的右节点不存在时，此节点就是最大值。

　　实现代码：

//寻找最小值int ABinarySearchTrees::FindMin()
{    //从根节点开始比较
    ATreeNode* X = FindMin(RootNode);    if (X) return X->GetKey();    return 0;
}//寻找拥有最小值的节点ATreeNode* ABinarySearchTrees::FindMin(ATreeNode* X)
{    //当节点存在时
    while (X)
    {        //如果右节点存在，继续循环
        if (X->GetNode(true))
        {
            X = X->GetNode(true);
        }        //如果右节点不存在，这个节点就是最小值
        else
        {            return X;
        }
    }    return X;
}int ABinarySearchTrees::FindMax()
{    //从根节点开始比较
    ATreeNode* X = FindMax(RootNode);    if (X) return X->GetKey();    return 0;
}//寻找拥有最大值的节点ATreeNode* ABinarySearchTrees::FindMax(ATreeNode* X)
{    //当节点存在时
    while (X)
    {        //如果右节点存在，继续循环
        if (X->GetNode(false))
        {
            X = X->GetNode(false);
        }        //如果右节点不存在，这个节点就是最小值
        else
        {            return X;
        }
    }    return X;
}

五、给定一个key，寻找最接近它的节点

　　Floor:最接近此key,且小于等于它的节点。

　　Ceiling:最接近此key,且大于等于它的节点。

　　寻找Floor：从下面的例子中介绍思路

　　假设给定key为X，现有搜索树如下图

假设X=13：

　　1.从根节点开始比较，X比19小，去19节点的左边。

　　2.X>10，但由于最接近X的节点可能在10的右节点下面，故还需去10的右边继续找。

　　3.X<14, 去14的左边。

　　4.X>12,且12没子节点，故12就是X的Floor。

假设X=11:

　　1.从根节点开始比较，X比19小，去19节点的左边。

　　2.X>10，但由于最接近X的节点可能在10的右节点下面，故还需去10的右边继续找。

　　3.X<14, 去14的左边。

　　4.X<12,且12没左子节点，故10的右节点下面没有比X小的节点，10就是X的Floor。

思路：

　　1.X与根节点比较，如果X小，去根节点的左节点，继续比较，直到找到一个比X小的节点A为止。

　　2.去A节点的右节点找比X小的节点。如果找不到，A就是要找的节点；如果找到了，令此节点为B，判断B节点是否有右节点，如果有，重复步骤2；如果没有，B节点就是要找的节点。

寻找Ceiling的过程与Floor类似，在此不累赘。

实现代码：

//给定一个数字，寻找最接近它的key(比它小)int ABinarySearchTrees::FindFloor(int InputKey)
{    //从根节点开始比较
    ATreeNode* X = FindFloor(RootNode,InputKey);    if (X) return X->GetKey();    return 0;
}

ATreeNode* ABinarySearchTrees::FindFloor(ATreeNode* X, int InputKey)
{    //如果X节点不存在，就别继续下去了
    if (!X) return nullptr;    int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());    //如果存在节点的key与输入值相等，则这个节点就是最接近它了
    if (Temp == 0) return X;    //如果节点的key比较大，则去找它的左节点，直到找到小于等于输入值的节点为止
    if (Temp < 0) return FindFloor(X->GetNode(true), InputKey);    //如果节点的key比较小，则要找的节点可能在它的右节点的左端
    ATreeNode* T = FindFloor(X->GetNode(false), InputKey);    //如果找到了T,则说明找到了，返回T;如果找不到，说明X已经是最接近的了，返回X
    if (T) return T;    else return X;
}//给定一个数字，寻找最接近它的key(比它大)int ABinarySearchTrees::FindCeiling(int InputKey)
{    //从根节点开始比较
    ATreeNode* X = FindCeiling(RootNode, InputKey);    if (X) return X->GetKey();    return 0;
}

ATreeNode* ABinarySearchTrees::FindCeiling(ATreeNode* X, int InputKey)
{    //如果X节点不存在，就别继续下去了
    if (!X) return nullptr;    int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());    //如果存在节点的key与输入值相等，则这个节点就是最接近它了
    if (Temp == 0) return X;    //如果节点的key比较小，则去找它的右节点，直到找到大于等于输入值的节点为止
    if (Temp > 0) return FindCeiling(X->GetNode(false), InputKey);    //如果节点的key比较大，则要找的节点可能在它的左节点的左端
    ATreeNode* T = FindCeiling(X->GetNode(true), InputKey);    //如果找到了T,则说明找到了，返回T;如果找不到，说明X已经是最接近的了，返回X
    if (T) return T;    else return X;
}

六、给定一个keyX,求有多少个节点的key比X小（即求Rank(X)）

　　这里就会用到节点里的Count了。这个Count记录了该节点下面共有多少个节点（包括自己）。

　　从例子介绍思路：

　　假设给定key为X，现有搜索树如下图

　　假设X=13，令根节点为A节点

　　1.从A节点开始比较，X比19小，去19节点的左边。

　　2.X>10，此时10和10左节点以下的所有节点都比X小，因为10的右节点下面可能还有节点比K小，所以还需要继续找，假设还有Y个节点在下面，则Rank(X)=1+4.Count+Y

　　3.X<14, 去14的左边。

　　4.X>12,且12没子节点，故Y=12.Count=1，Rank(X)=1+4.Count+Y=1+3+1=5。

思路：

　　令根节点为A节点

　　1. 从A节点开始比较：

　　如果X<A.key，则如果A的左节点存在，令A的左节点为A,重复步骤1；如果不存在，返回0；

　　如果X=A.key，则由于A的右节点下方都比A大，A的左节点下方都比A小，所以Rank(X)=A的左节点的Count；

　　如果X>A.key，则Rank(X)=1 + A的左节点的Count + A的右节点下方小于X的节点个数，进入步骤2。

　　2. 令A的右节点为A，重复步骤1。

　　3. 此循环结束后，便得到Rank(X)。

实现代码：　　

//求有多少个数字少于给定数字int ABinarySearchTrees::Rank(int InputKey)
{    return Rank(InputKey, RootNode);
    
}int ABinarySearchTrees::Rank(int InputKey, ATreeNode* X)
{    //如果节点不存在，返回0
    if (!X) return 0;    int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());    //如果给定数字比X的key小，则去X的左边去找比给定数字小的数字
    if (Temp < 0) return Rank(InputKey, X->GetNode(true));    //如果给定数字比X的key大，则X和X的左节点都比给定数字小，把它们算上后，去X的右节点找是否还有比给定数字小的数字
    else if (Temp > 0) return 1 + Size(X->GetNode(true)) + Rank(InputKey, X->GetNode(false));    //因为右节点都比X大，而X的Key与给定数字相等，故比给定数字小的数字都在X的左节点里
    else return Size(X->GetNode(true));
}

七、中序排列　　

　　通过对二叉搜索树进行中序排列，可以得到一个递增的有序数组。对某个节点进行中序排列就是先排此节点的左节点，再排这个节点，最后排此节点的右节点。

　　例如对下图的节点4进行中序排列：2,4,7。

　　如果要对一个大节点排序，如下图：

　　对节点10进行中序排列：需要先对节点4进行中序排列，然后排10，再对节点14进行中序排列

　　同样道理，对根节点排序（即整个二叉搜索树进行中序排列）：　　

　　对节点19进行中序排列：需要先对节点10进行中序排列，然后排19，再对节点25进行中序排列

实现代码：

void ABinarySearchTrees::InorderTraversal()
{
    OrderNodeArray.Empty();
    Inorder(RootNode);
}void ABinarySearchTrees::Inorder(ATreeNode* X)
{    if (!X) return;    //先去加X的左节点
    Inorder(X->GetNode(true));    //再加X
    OrderNodeArray.Add(X->GetKey());    //最后加X的右节点
    Inorder(X->GetNode(false));
}

八、删除节点

　　要删除一个节点，可能会遇到3种情况:

　　A. 这个节点没子节点，此情况最为简单，直接删除这个节点即可。

　　B. 这个节点只有一个子节点，把这个子节点和这个节点的父节点相连，然后删除这个节点

　　C. 这个节点有两个子节点，此情况最为复杂，稍后讨论

举个例子：

　　如果要删除节点2，则就是A情况，直接删除即可；

　　如果要删除节点4，则就是B情况，由于4节点是10节点的左节点，故把节点2放在节点10的左节点处，然后删除节点4。

　　如果要删除节点10，则就是C情况，首先，我们需要从节点10下面找一个节点X来代替它，如下图所示：

　　可以看出X肯定比4大，比14小。故X只能从14的下面去找。显然，在此例子中X=12。替代了后，我们当然需要把14的左节点删掉，替换效果：

　　为了更直观的讨论，我们不妨将此树拓展一下：

　　删除节点10后：

　　此时，X肯定比4大，比14小，X的候选者有11,12,13。

　　不能选12，因为12有两个节点，处理起来过于复杂，且会破坏二叉搜索树的结构

　　11可以选，处理起来最简单。

　　不能选13，因为如果X=13，就会破坏了二叉搜索树的结构，如下图：

　　在二叉搜索树的结构中，父节点应该比它的右节点下面的所有节点都小。而此例子中，13>12>11。

　　选择11时，X=11，删除节点成功，如下图

　　因此，回到情况C:这个节点有两个子节点，要删除它的操作是：

　　1. 从此节点的右节点下面找出最小的节点X。

　　2. 因为X节点是最小的，所以它的子节点数量肯定小于等于1个，把此子节点连到X的父节点上。

　　3. 然后用X节点替换要删除的节点。

　　4. 删除要删除的节点。

　　至于怎么删除最小节点，上面已经介绍了如何找到最小节点，要删除它只需在此基础上进行少量操作。

实现代码：

//删除最小的节点void ABinarySearchTrees::DeleteMin()
{
    RootNode = DeleteMin(RootNode);
}

ATreeNode* ABinarySearchTrees::DeleteMin(ATreeNode* X)
{    //如果X的左节点不存在，说明已经找到最小值了，删除它，返回它的右节点
    if (!X->GetNode(true))
    {
        ATreeNode* TempNode = X->GetNode(false);
        NodeArray.Remove(X);
        X->Destroy();        return TempNode;
    }    //删除最小值后，把它的右节点和上一个节点连上
    X->SetNode(true, DeleteMin(X->GetNode(true)));    //更新节点数
    X->SetCount(1 + Size(X->GetNode(true)) + Size(X->GetNode(false)));    return X;
}void ABinarySearchTrees::Delete(int InputKey)
{
    RootNode = Delete(RootNode, InputKey);
}

ATreeNode* ABinarySearchTrees::Delete(ATreeNode* X, int InputKey)
{    
    if (!X) return nullptr;    int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());    //寻找要删除的节点，只要删了一个节点，它上面的所有节点都要更新一次，所以是SetNode
    if (Temp < 0) X->SetNode(true, Delete(X->GetNode(true), InputKey));    else if (Temp > 0) X->SetNode(false, Delete(X->GetNode(false), InputKey));    //找到要删除的节点了
    else
    {        //如果要删除的节点只有一个子节点或没有，那好办，只需把那个子节点替代它就好
        if (!X->GetNode(false))
        {
            ATreeNode* TempNode = X->GetNode(true);
            NodeArray.Remove(X);
            X->Destroy();            return TempNode;
        }        if (!X->GetNode(true))
        {
            ATreeNode* TempNode = X->GetNode(false);
            NodeArray.Remove(X);
            X->Destroy();            return TempNode;
        }        
        //如果要删除的节点有两个个子节点，从它的右边找一个最小的节点来替代它
        ATreeNode* T = X;
        X = FindMin(T->GetNode(false));
        X->SetNode(false, DeleteMin(T->GetNode(false)));
        X->SetNode(true, T->GetNode(true));
        NodeArray.Remove(T);
        T->Destroy();
    }    //更新节点数
    X->SetCount(Size(X->GetNode(true)) + Size(X->GetNode(false)) + 1);    return X;
    
}

九、完整的全部代码

节点.h:

UCLASS()class ALGORITHM_API ATreeNode : public AActor
{
    GENERATED_BODY()    
public:    
    // Sets default values for this actor's properties    ATreeNode();    // Called every frame
    virtual void Tick(float DeltaTime) override;    //设值
    FORCEINLINE void SetValue(int Newkey, FString NewValue)
    {
        Key = Newkey;
        Value = NewValue;
    }

    FORCEINLINE ATreeNode* Get() { return this; }    //获取或修改私有变量
    FORCEINLINE int GetKey() { return Key; }
    FORCEINLINE void SetKey(int NewKey) { Key = NewKey; }
    FORCEINLINE int GetCount() { return Count; }
    FORCEINLINE void SetCount(int NewCount) { Count = NewCount; }
    FORCEINLINE FString GetValue() { return Value; }
    FORCEINLINE void SetValue(FString NewValue) { Value = NewValue; }
    FORCEINLINE ATreeNode* GetNode(bool Left)
    {        if (Left) return LeftNode;        return RightNode;
    }
    FORCEINLINE void SetNode(bool Left, ATreeNode* NewNode)
    {        if (Left)  LeftNode = NewNode;        else
        {
            RightNode = NewNode;
        }
    }protected:    // Called when the game starts or when spawned
    virtual void BeginPlay() override;private:    int Key;
    FString Value;    //左右节点
    ATreeNode* LeftNode;
    ATreeNode* RightNode;    //计算此节点下面共用多少个节点（包括自己）
    int Count;
};

二叉搜索树.h:class ATreeNode;
UCLASS()class ALGORITHM_API ABinarySearchTrees : public AActor
{
    GENERATED_BODY()    
public:    
    // Sets default values for this actor's properties    ABinarySearchTrees();    // Called every frame
    virtual void Tick(float DeltaTime) override;    //查值
    FString GetValue(int InputKey);    //某个key是否存在？
    bool Search(int InputKey);    //插入一个节点
    void Put(int Newkey);
    ATreeNode* Put(ATreeNode* X, int NewKey);    //提供一个方法让TreeNode之间进行比较    //如果a大于b，返回1；如果a小于b，返回-1；如果相等，返回0
    int CompareTo(int a, int b);    //寻找最小值
    int FindMin();    //寻找拥有最小值的节点
    ATreeNode* FindMin(ATreeNode* X);    //寻找最大值
    int FindMax();    //寻找拥有最大值的节点
    ATreeNode* FindMax(ATreeNode* X);    //给定一个数字，寻找最接近它的key(比它小)
    int FindFloor(int InputKey);
    ATreeNode* FindFloor(ATreeNode* X, int InputKey);    //给定一个数字，寻找最接近它的key(比它大)
    int FindCeiling(int InputKey);
    ATreeNode* FindCeiling(ATreeNode* X, int InputKey);    //求有多少个数字少于给定数字
    int Size(ATreeNode* X);    int Rank(int InputKey);    int Rank(int InputKey, ATreeNode* X);    //中序遍历
    void InorderTraversal();    void Inorder(ATreeNode* X);    //删除最小值
    void DeleteMin();
    ATreeNode* DeleteMin(ATreeNode* X);    //删除某个节点
    void Delete(int InputKey);
    ATreeNode* Delete(ATreeNode* X, int InputKey);    

protected:    // Called when the game starts or when spawned
    virtual void BeginPlay() override;public:    
    

private:    //根节点
    ATreeNode* RootNode;    //节点数组
    TArray<ATreeNode*> NodeArray;    //把节点接过的路线记录下来，方便测试    FString RouteString;    //把节点按中序遍历放进数组
    TArray<int> OrderNodeArray;
};

二叉搜索树.cpp:// Sets default valuesABinarySearchTrees::ABinarySearchTrees()
{     // Set this actor to call Tick() every frame.  You can turn this off to improve performance if you don't need it.
    PrimaryActorTick.bCanEverTick = true;

}// Called when the game starts or when spawnedvoid ABinarySearchTrees::BeginPlay()
{
    Super::BeginPlay();
    FRandomStream Stream;
    Stream.GenerateNewSeed();    //生成节点
    for (int i = 0; i < 100; i++)
    {
        Put(Stream.RandRange(0, 100));
    }

    Put(40);    //测试二叉搜索树是否正确
    for (int i = 0; i < NodeArray.Num(); i++)
    {
        UKismetSystemLibrary::PrintString(this, FString::FromInt(NodeArray[i]->GetKey())+
            NodeArray[i]->GetValue()+" Count: "+ FString::FromInt(NodeArray[i]->GetCount()));
    }
    UKismetSystemLibrary::PrintString(this, FString::FromInt(Rank(49)));    //测试搜索和查值功能
    if (Search(40))
    {
        UKismetSystemLibrary::PrintString(this, "Find 40: " + GetValue(40));
    }    //测试寻找最小值、最大值、Floor、Ceiling
    UKismetSystemLibrary::PrintString(this, "Min: " + FString::FromInt(FindMin()) + 
        " Max: " + FString::FromInt(FindMax()));
    UKismetSystemLibrary::PrintString(this, "Floor of 50: " + FString::FromInt(FindFloor(50)));
    UKismetSystemLibrary::PrintString(this, "Ceiling of 50: " + FString::FromInt(FindCeiling(50)));    //测试删除
    Delete(40);    //测试中序排序    InorderTraversal();    for (int i = 0; i < OrderNodeArray.Num(); i++)
    {
        UKismetSystemLibrary::PrintString(this, FString::FromInt(OrderNodeArray[i]));
    }    for (int i = 0; i < NodeArray.Num(); i++)
    {        if (!NodeArray[i]) return;
        
        UKismetSystemLibrary::PrintString(this, FString::FromInt(NodeArray[i]->GetKey()) +
            NodeArray[i]->GetValue() + " Count: " + FString::FromInt(NodeArray[i]->GetCount()));
    }
}// Called every framevoid ABinarySearchTrees::Tick(float DeltaTime)
{
    Super::Tick(DeltaTime);

}

FString ABinarySearchTrees::GetValue(int InputKey)
{
    ATreeNode* X = RootNode;    while (X != nullptr)
    {        //比较key的大小
        int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());        //如果输入的key比X的小，去X的左边
        if (Temp < 0) X = X->GetNode(true);        //如果输入的key比X的大，去X的右边
        else if (Temp > 0) X = X->GetNode(false);        //如果相等，说明找到这个key了，输出Value
        else return X->GetValue();
    }    //如果X为空指针，说明找不到这个key
    return "NotFind";
}//某个key是否存在？bool ABinarySearchTrees::Search(int InputKey)
{
    ATreeNode* X = RootNode;    while (X != nullptr)
    {        //比较key的大小
        int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());        //如果输入的key比X的小，去X的左边
        if (Temp < 0) X = X->GetNode(true);        //如果输入的key比X的大，去X的右边
        else if (Temp > 0) X = X->GetNode(false);        //如果相等，说明找到这个key了
        else return true;
    }    //如果X为空指针，说明找不到这个key
    return false;
}void ABinarySearchTrees::Put(int Newkey)
{    //每次插入前，都清空路线信息
    RouteString = "";    //每次插入新节点都要更新根节点
    RootNode = Put(RootNode, Newkey);
    RootNode->SetValue(": Root");
    
}

ATreeNode* ABinarySearchTrees::Put(ATreeNode* X, int NewKey)
{    //如果X不存在，创造一个
    if (!X)
    {
        ATreeNode* NewNode = GetWorld()->SpawnActor<ATreeNode>(ATreeNode::StaticClass());
        NewNode->SetValue(NewKey, RouteString);        //节点存起来，方便测试        NodeArray.Add(NewNode);        //新节点自己算一个节点
        NewNode->SetCount(1);        return NewNode;
    }    int Temp = CompareTo(NewKey, X->GetKey());    //如果要插入新节点，则新节点的所有父节点都要更新一次
    if (Temp < 0)
    {
        RouteString.Append(": Left");
        X->SetNode(true, Put(X->GetNode(true), NewKey));
    }    else if (Temp > 0)
    {
        RouteString.Append(": Right");
        X->SetNode(false, Put(X->GetNode(false), NewKey));
    }    else
    {
        X->SetValue(RouteString);
    }    //更新X节点的Count
    X->SetCount(1 + Size(X->GetNode(true)) + Size(X->GetNode(false)));    return X;
}//如果a大于b，返回1；如果a小于b，返回-1；如果相等，返回0int ABinarySearchTrees::CompareTo(int a, int b)
{    if (a > b)
    {        return 1;
    }    else if (a < b)
    {        return -1;
    }    else
    {        return 0;
    }
}//寻找最小值int ABinarySearchTrees::FindMin()
{    //从根节点开始比较
    ATreeNode* X = FindMin(RootNode);    if (X) return X->GetKey();    return 0;
}//寻找拥有最小值的节点ATreeNode* ABinarySearchTrees::FindMin(ATreeNode* X)
{    //当节点存在时
    while (X)
    {        //如果左节点存在，继续循环
        if (X->GetNode(true))
        {
            X = X->GetNode(true);
        }        //如果右节点不存在，这个节点就是最小值
        else
        {            return X;
        }
    }    return X;
}int ABinarySearchTrees::FindMax()
{    //从根节点开始比较
    ATreeNode* X = FindMax(RootNode);    if (X) return X->GetKey();    return 0;
}//寻找拥有最大值的节点ATreeNode* ABinarySearchTrees::FindMax(ATreeNode* X)
{    //当节点存在时
    while (X)
    {        //如果右节点存在，继续循环
        if (X->GetNode(false))
        {
            X = X->GetNode(false);
        }        //如果右节点不存在，这个节点就是最小值
        else
        {            return X;
        }
    }    return X;
}//给定一个数字，寻找最接近它的key(比它小)int ABinarySearchTrees::FindFloor(int InputKey)
{    //从根节点开始比较
    ATreeNode* X = FindFloor(RootNode,InputKey);    if (X) return X->GetKey();    return 0;
}

ATreeNode* ABinarySearchTrees::FindFloor(ATreeNode* X, int InputKey)
{    //如果X节点不存在，就别继续下去了
    if (!X) return nullptr;    int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());    //如果存在节点的key与输入值相等，则这个节点就是最接近它了
    if (Temp == 0) return X;    //如果节点的key比较大，则去找它的左节点，直到找到小于等于输入值的节点为止
    if (Temp < 0) return FindFloor(X->GetNode(true), InputKey);    //如果节点的key比较小，则要找的节点可能在它的右节点的左端
    ATreeNode* T = FindFloor(X->GetNode(false), InputKey);    //如果找到了T,则说明找到了，返回T;如果找不到，说明X已经是最接近的了，返回X
    if (T) return T;    else return X;
}//给定一个数字，寻找最接近它的key(比它大)int ABinarySearchTrees::FindCeiling(int InputKey)
{    //从根节点开始比较
    ATreeNode* X = FindCeiling(RootNode, InputKey);    if (X) return X->GetKey();    return 0;
}

ATreeNode* ABinarySearchTrees::FindCeiling(ATreeNode* X, int InputKey)
{    //如果X节点不存在，就别继续下去了
    if (!X) return nullptr;    int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());    //如果存在节点的key与输入值相等，则这个节点就是最接近它了
    if (Temp == 0) return X;    //如果节点的key比较小，则去找它的右节点，直到找到大于等于输入值的节点为止
    if (Temp > 0) return FindCeiling(X->GetNode(false), InputKey);    //如果节点的key比较大，则要找的节点可能在它的左节点的左端
    ATreeNode* T = FindCeiling(X->GetNode(true), InputKey);    //如果找到了T,则说明找到了，返回T;如果找不到，说明X已经是最接近的了，返回X
    if (T) return T;    else return X;
}int ABinarySearchTrees::Size(ATreeNode* X)
{    //如果节点不存在，返回0
    if (!X) return 0;    //如果节点存在，返回Count
    return X->GetCount();
}//求有多少个数字少于给定数字int ABinarySearchTrees::Rank(int InputKey)
{    return Rank(InputKey, RootNode);
    
}int ABinarySearchTrees::Rank(int InputKey, ATreeNode* X)
{    //如果节点不存在，返回0
    if (!X) return 0;    int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());    //如果给定数字比X的key小，则去X的左边去找比给定数字小的数字
    if (Temp < 0) return Rank(InputKey, X->GetNode(true));    //如果给定数字比X的key大，则X和X的左节点都比给定数字小，把它们算上后，去X的右节点找是否还有比给定数字小的数字
    else if (Temp > 0) return 1 + Size(X->GetNode(true)) + Rank(InputKey, X->GetNode(false));    //因为右节点都比X大，而X的Key与给定数字相等，故比给定数字小的数字都在X的左节点里
    else return Size(X->GetNode(true));
}void ABinarySearchTrees::InorderTraversal()
{
    OrderNodeArray.Empty();
    Inorder(RootNode);
}void ABinarySearchTrees::Inorder(ATreeNode* X)
{    if (!X) return;    //先去加X的左节点
    Inorder(X->GetNode(true));    //再加X
    OrderNodeArray.Add(X->GetKey());    //最后加X的右节点
    Inorder(X->GetNode(false));
}//删除最小的节点void ABinarySearchTrees::DeleteMin()
{
    RootNode = DeleteMin(RootNode);
}

ATreeNode* ABinarySearchTrees::DeleteMin(ATreeNode* X)
{    //如果X的左节点不存在，说明已经找到最小值了，删除它，返回它的右节点
    if (!X->GetNode(true))
    {
        ATreeNode* TempNode = X->GetNode(false);
        NodeArray.Remove(X);
        X->Destroy();        return TempNode;
    }    //删除最小值后，把它的右节点和上一个节点连上
    X->SetNode(true, DeleteMin(X->GetNode(true)));    //更新节点数
    X->SetCount(1 + Size(X->GetNode(true)) + Size(X->GetNode(false)));    return X;
}void ABinarySearchTrees::Delete(int InputKey)
{
    RootNode = Delete(RootNode, InputKey);
}

ATreeNode* ABinarySearchTrees::Delete(ATreeNode* X, int InputKey)
{    
    if (!X) return nullptr;    int Temp = CompareTo(InputKey, X->GetKey());    //寻找要删除的节点，只要删了一个节点，它上面的所有节点都要更新一次，所以是SetNode
    if (Temp < 0) X->SetNode(true, Delete(X->GetNode(true), InputKey));    else if (Temp > 0) X->SetNode(false, Delete(X->GetNode(false), InputKey));    //找到要删除的节点了
    else
    {        //如果要删除的节点只有一个子节点或没有，那好办，只需把那个子节点替代它就好
        if (!X->GetNode(false))
        {
            ATreeNode* TempNode = X->GetNode(true);
            NodeArray.Remove(X);
            X->Destroy();            return TempNode;
        }        if (!X->GetNode(true))
        {
            ATreeNode* TempNode = X->GetNode(false);
            NodeArray.Remove(X);
            X->Destroy();            return TempNode;
        }        
        //如果要删除的节点有两个个子节点，从它的右边找一个最小的节点来替代它
        ATreeNode* T = X;
        X = FindMin(T->GetNode(false));
        X->SetNode(false, DeleteMin(T->GetNode(false)));
        X->SetNode(true, T->GetNode(true));
        NodeArray.Remove(T);
        T->Destroy();
    }    //更新节点数
    X->SetCount(Size(X->GetNode(true)) + Size(X->GetNode(false)) + 1);    return X;
    
}

原文出处：https://www.cnblogs.com/mcomco/p/10184033.html

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