线性组合（linear combinations）, 生成空间（span）, 基向量（basis vectors）——线性代数本质（二）

Mathematics requires a small dose, not of genius, but of an imaginative freedom which, in a larger dose, would be insanity.

— Angus K. Rodgers

基向量（basis vectors）

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线性组合（Linear combinations）

推而广之，在坐标系中，除了基向量外，任何两个向量的进行基本的加法和乘法运算后，都可以组合成一个新的向量
们和  、 一样中，保持其中一个参数不变，则结果向量的顶点将在坐标系中画出一条直线，如下面的右图所示：

保持 a 不变，不断变换 b 的值，得出右图的向量尾部落在一条直线上

生成空间（span）

生成空间的定义：

The是原点，则 span 也是原点

1. 以上都不是，则 span 覆盖整个坐标系

三维空间中，如果有 2 个 vectors，则它们的线性组合形成的 span 为该维空间中的一个平面；如果有 3 个 vectors，且每一个 vector 和另外 2 个所组成的 span 不在同一个平面上，则这 3 个 vectors 可以构造三维空间中任意一个向量。

可以想象一下，当你引入并不断变换第三个向量（拉伸、翻转、压缩），它会把前两个向量组成的平面在空间中来回移动——相当于席卷了整个空间

线性相关（Linearly dependent）

如果新增的向量和原 span 重合，则它不会给 span 带来更多的变化，例如在二维空间中，2 条 vectors 在同 1 条直线上；三维空间中，第 3 条 vector 在前 2 条 vectors 所组成的平面上，则删去最后 1 条 vector 也不会给 span 带来任何变化，这种新的 vector 是多余的，我们把它称为 Linearly dependent ：其中 1 条 vector 可以用其他的 vectors 来表示，例如 3 维空间中有：

线性无关（Linearly independent）

有 Linearly dependent ，就有 Linearly independent ，意味着新增的 vector 不在原 span 上，即给原来的 span增加了一个维度。

作者：冯雅杰
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