最短路径问题-Dijkstra

最短路径问题

最短路径：

一张图中节点$u$到节点$v$之间所经过的边权和最小的路径，称为$u$,$v$之间的最短路径

具体包括下几种类型：

• 确定起点的最短路问题
• 确定终点的最短路问题
• 确定起点和终点的最短路问题
• 全局最短路问题

常见的解决算法有：

• $Floyd$算法
• $Dijkstra$算法
• $SPFA$算法

$Dijkstra$算法：

单源最短路问题：

给出一张图的所有描述，求从某个给定的点出发到图中其他所有点的最短路径

算法描述：

我们规定集合$A$为一个点集，$dis$[$u$]代表从给定的起点出发到$u$的最短路径长度，点集$A$初始只有一个点$s$，也就是给定的起点，从除去$A$剩下的点集中找到节点$u$满足$dis$[$u$]最小，并且把$u$加入到集合$A$中，用$u$来更新所有与$u$直接相连的点的$dis$值，不断重复，直到$A$集合中包含了所有图中的点。时间复杂度为$O$($n^{2}$+$m$)。

算法证明：

如果从$u$到$v$的最短路径经过了节点$ij$，那么这条路径上的$ij$之间的路径长度一定是路径$ij$之间的最短路径，因为如果存在另一条路径$r$($i$,$j$)是$ij$之间的最短路径，那么一定可以使用$r$($i$,$j$)来更新$uv$之间的路径从而得到一个更短的路径。这也就证明了为什么我们可以通过$A$集合中的点来不断扩展更新，并且被更新的点可以被归入到$A$集合中，我们保证了$A$集合任意一个节点$u$的$dis$值的最优性，那么通过$u$更新的点$v$的$dis$值也一定是最优的。

代码实现：

$POJ2387$

题意：

第一行给出两个整数m,n，接下来m行每行三个数a,b,c代表从a到b有一条长度为c的路径，问从n到1的最短路。

题解：

$dijsktra$模板题

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
const int mn=1000+10,me=2*mn+10;
int arcs[mn][mn];
int dis[mn];
bool vis[mn];
int m,n;
int cnt=1;
using namespace std;
void dijsktra(){
	for(int i=1;i<=n;i++)
			dis[i]=arcs[1][i];
	vis[1]=true;
	dis[1]=0;
	while(cnt<n){
		int minn=1;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(dis[i]>dis[minn])
				minn=i;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(dis[i]<dis[minn]&&vis[i]==false)
				minn=i;
		}
		vis[minn]=true;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			dis[i]=min(dis[i],dis[minn]+arcs[i][minn]);
		cnt++;
	}
}
int main(){
	cin>>m>>n;
	memset(arcs,0x3f,sizeof(arcs));
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
		cin>>x>>y>>z;
		arcs[x][y]=min(z,arcs[x][y]);
		arcs[y][x]=arcs[x][y];
	}
	dijsktra();
	cout<<dis[n]<<endl;
	return 0;
}

优化：

注意到每一次寻找节点$u$满足$dis$[$u$]最小都要遍历所有的点，我们可以使用一个数据结构来支持快速找到最小值并且将其删去，可以使用一个堆来维护所有的未进入集合$A$的点，每一次从堆中找到最小值并且将其删去，就可以把时间复杂度降为$O$($mlogn$)。