最短路径问题-Floyd

最短路径问题

最短路径：

一张图中节点$u$到节点$v$之间所经过的边权和最小的路径，称为$u$,$v$之间的最短路径

具体包括下几种类型：

• 确定起点的最短路问题
• 确定终点的最短路问题
• 确定起点和终点的最短路问题
• 全局最短路问题

常见的解决算法有：

• $Floyd$算法
• $Dijkstra$算法
• $SPFA$算法

$Floyd$算法

多源最短路问题：

给出描述图$G$的邻接矩阵$A$，其中第$i$行第$j$列的元素$A$[$i$][$j$]代表从第$i$个点到第$j$个点有一条长度为$A$[$i$][$j$]的有向边，$Floyd$算法用来计算任意两点之间的最短路

算法描述：

$Floyd$算法的本质是动态规划

设$f$[$k$][$i$][$j$]代表只经过前$k$个点的从$i$到$j$的最短路径，那么$f$[$0$][ ][ ]就是矩阵$A$[ ][ ]，对于点对($u$,$v$)更新到第$k$个点的时候，($u$,$v$)的最短路径只有两种，一种是经过$k$的，一种是没有经过$k$的，也就是$f$[$k$][$i$][$j$]$=min${$f$[$k-1$][$i$][$j$],$f$[$k-1$][$i$][$k$]+$f$[$k-1$][$k$][$j$]}。

这样的时间复杂度和空间复杂度都是$O$($n^{3}$)，但是我们仔细观察就可以发现，其实三维数组的第一维是没有用的，每一次的更新只是使用第$k-1$层来更新第$k$层，并且最后我们所使用的也只是第$n$层，所以我们没有必要存储所有的数据，也就是可以简化成$f$[$i$][$j$]=$min${$f$[$i$][$k$]+$f$[$k$][$j$],$f$[$i$][$j$]}，最终的空间复杂度可以降为$O$($n^{2}$)的

细节描述:

在知乎上有一个问题叫做“为什么$Floyd$算法中$k$应该放在循环的最外层”。我们要理解$Floyd$算法的本质是动态规划，$k$在某种意义上是一个时间戳，我们使用第$k-1$层的数据来更新第$k$层的数据，所以我们必须保证，更新第$k$层的时候，$k-1$层的数据已经是最优的。

经典题目：

$POJ 1125$

题意：

每个经纪人有$M$个经纪人朋友，给出每个经纪人向其他经纪人传递信息的时间，$a$经纪人向$b$经纪人传递信息的时间不一定相同，给出所有信息之后，询问从某个经纪人出发，把消息传递给所有经纪人的最小时间，输出这个经纪人的序号，如果有一个或者一个以上的经纪人无法接收信息，输出"$disjoint$"

题解：

找到所有点对之间的最短路径

代码实现：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int maxn=100+5;
int n,dis[maxn][maxn];

inline int read(void){
  char ch=getchar();
  int f=1,x=0;
  while(!(ch>='0'&&ch<='9')){
      if(ch=='-') f=-1;
      ch=getchar();
  }
  while(ch>='0'&&ch<='9')
    x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
  return f*x;
}

signed main(void){
  while(n=read()){
    memset(dis,inf,sizeof(dis));
    for(int i=1,m,x;i<=n;i++){
      m=read();
      for(int j=1;j<=m;j++)
        x=read(),dis[i][j]=read();
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
      dis[i][i]=0;
    for(int k=1;k<=n;k++)
      for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
          dis[i][j]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j]);
    int ans=inf,node;
    for(int i=1;i<=n;i++){
      int Max=0;
      for(int j=1;j<=n;j++)
        Max=max(Max,dis[i][j]);
      if(ans>Max)
        ans=Max,node=i;
    }
    if(ans==inf)
      cout<<"disjoint"<<endl;
    else
      cout<<node<<" "<<ans<<endl;
  }
  return 0;
}

传递闭包问题

问题描述：

求一张图中所有点对之间的路径互达问题

Floyd算法的应用：

我们可以把所有没有直接路径相连的点对之间的边权设为$inf$，其他有直接路径相连的点对之间的边权设为$1$，那么如果最终两个节点之间的最短路径为$inf$，就代表其之间不可互达

代码实现：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=100+5;
int n,m,mp[maxn][maxn],cnt[maxn],ans;
signed main(void){
	memset(mp,0,sizeof(mp)),ans=0,memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
		scanf("%d%d",&x,&y),mp[x][y]=1;
	for(int k=1;k<=n;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				if(mp[i][k]&&mp[k][j])
					mp[i][j]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(mp[i][j]||mp[j][i])
				cnt[i]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(cnt[i]==n-1)
			ans++;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}