如何理解贝叶斯这个重要的概念?
到底什么是贝叶斯
Bayes是用于推理的,而推理讲究证据,所以贝叶斯的推理过程就是通过不断的收集证据E来增强对假设事件H的信心。换而言之这很类似侦探办案的例子,假设凶手是H,福尔摩斯通过不断搜集证据,增强自己认定凶手就是A的信心,这个过程就是贝叶斯。
P(H|E) = \frac{P(H) \cdot P(E|H)}{P(E)}
贝叶斯公式推导:P(H|E) = \frac{P(H,E)}{P(E)} = \frac{P(H) \cdot P(E|H)}{P(B)}
贝叶斯公式和两个概率有关系: 先验概率(基础概率), 后验概率(观察到的概率)
贝叶斯的一些小概念
P(H) 是先验概率。就是没有任何条件限定下H发生的概率。比如凶手杀了个人,但是没有任何证据。
P(H|E)叫后验概率。就是通过贝叶斯计算最终得到的比较科学的概率。
P(E|H) 叫条件似然,也称之为似然概率,似然就是时间发生的可能性。
物以类聚,人以群分,如果我们把H与~H看作两类人,比如男人和女人,那么这两类人针对同一件事情会有不同的看法和倾向,比如男人可能更喜欢踢足球,而女人可能更喜欢逛街,似然概率描述的就是这两类不同的人针对事件E_i表现出的倾向概率
由于P(E|H)与P(E|~H)是针对两类不同的人的概率,因此它们之间并不互斥, P(E|H) + P(E| \neg H) ≠ 1
P(E)称之为整体似然,在所有情况下证据E发生的概率,不管事件H发生还是不发生。因为它起到归一化的作用,所以又称为归一化常量(normalizing constant)。
有关贝叶斯的例子
某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件,该城市只有两种颜色的车,蓝色15%,绿色85%,事发时有一个人在现场看见了,他指证是蓝车。但是根据专家在现场分析,当时那种条件能看正确的可能性是80%。那么,肇事的车是蓝车的概率到底是多少?
令B为城市车为蓝色车事件, G为城市车为绿色车事件,E为观察到车子为蓝色的事件,不管有没有人在看到了,则有:
P(B)就是先验概率
P(E)就是传说中的整体似然,P(E|B)就是条件似然。
P(B|E)就是我们要求的在有证人的情况下,肇事车为蓝色的概率,也就是后验概率。
那么有:
P(B) = 0.15; P(G)=0.85
当没有任何人看到是什么颜色的时候,只能盲猜,所以为蓝色的概率(先验概率)是:
P(B) = 0.15
当有人看到了肇事车是蓝色的,这时候要分成两种情况,一种是肇事车确实是蓝色的,一种是肇事车不是蓝色的,所以有:
P(E,B) = P(B)P(E|B) = 0.15 * 0.8 = 0.12
P(E,\neg B) = P(\neg B)P(E| \neg B) = 0.85 * (1 - 0.8) = 0.17
所以可以得出:
P(E) = P(E,B) + P(E,\neg B) = 0.12 + 0.17 = 0.29
那么后验概率为:
P(B|E) = \frac{P(E, B)}{P(E)} = \frac{0.12}{0.29} = 0.41
可见通过有人看到这个证据,增强了我们对肇事车辆时蓝色车的信心。
作者:每天都懒得减肥
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