Look-and-Say 数列

Look-and-See (边看边说) 数列具有好玩儿而神秘的特性，本文简要介绍它和它衍生出来的康威常数。

沿革

1977年7月1-13日，国际奥林匹克数学竞赛在前南斯拉夫首都贝尔格莱德举行，赛间，荷兰队非正式地给英国队出了个难题(其实类似脑筋急转弯),大致是这样的：

1, 11, 21, 1211, 111221

上述数列的下一项是什么呢？

英国队未予答复...

故事并没有结束，后来，在剑桥大学执教的著名数学家约翰·霍顿·康威( John·Horton·Conway)从他的学生那儿拿到了这道题，他发现了其中的奥秘，并对它进行了分析和传播。

康威在1986年去普林斯顿大学接任了著名的约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）教授的位子，继续教书。

特征

给定种子数 d (种子数在0到9之间，非1), 那么，该数列就可以具体化为：

d, 1d, 111d, 311d, 13211d, 111312211d, 31131122211d, …

如果种子数是1, 具体化后的数列就是本文开头的那个数列了。

如果种子数是22，那么，具体化后的数列的每一项的每个数字，都是2，并且每一项都是22。

当种子数不是22 时， 具体化后的数列的各项是依次增长的。

增长率

种子数不为22时，此数列的后项与前项比有极限，这个极限被称为康威常数，常用 λ 表示。

λ ≈  1.303577269034296391257099112152551890730702504659404875754861390628550...

我想知道：这里应该有图片，可是为什么51CTO的图片上传的“确认”按钮点了没效果呢？

由于无法上传，请查看我创建的百度词条“Look-and-say 数列” 中的配图.

(上图截取自维基百科： Look-and-say sequence , 我在百度百科为这个词建立了词条，感兴趣的可以去看下)

上图中的四条曲线各自是一个 Look-and-say 数列的图示： 红色的种子数是23，蓝色的是1，紫色的是13，绿色的是312。

随着 x 轴方向的变量不断变大，各个曲线的斜率趋向统一，极限值就是康威常数( Conway Constant )。

用途

看起来是无用之用的一个脑筋急转弯性质的数列，但康威却给出了不同的回答。

康威基于这个数列建立了 Cosmological theorem，解释了宇宙衰变(Cosmological decay)，用这个数列解释了化学元素衰变和相对原子质量之间的关系。

实现

多种编程语言均可实现这个数列，现在我给出该数列在几种编程语言中的实现：

JavaScript 实现1

/*node las.js */function lookAndSay(str) {    return str.replace(/(.)\1*/g, function(seq, p1){return seq.length.toString() + p1})}var num = "1";for (var i = 10; i > 0; i--) {    console.log(num);    num = lookAndSay(num);}

JavaScript 实现2：

/** @Author: suifengtec* @Date:   2017-08-22 03:45:05* @Last Modified by:   suifengtec* @Last Modified time: 2017-08-22 03:51:02*//*node las1.js */function lookAndSay(digits) {    var result = '',        chars = (digits + ' ').split(''),        lastChar = chars[0],        times = 0;     chars.forEach(function(nextChar) {        if (nextChar === lastChar) {            times++;        }        else {            result += (times + '') + lastChar;            lastChar = nextChar;            times = 1;        }    });     return result;} (function output(seed, iterations) {    for (var i = 0; i < iterations; i++) {        console.log(seed);        seed = lookAndSay(seed);    }})("1", 10);

Lua语言的实现：

-- @Author: suifengtec-- @Date:   2017-08-22 03:51:07-- @Last Modified by:   'suifengtec'-- @Last Modified time: 2017-08-22 03:56:18--a lua implement of the look-and-say sequence-- lua las.luafunction lookAndSay(n)  local t = {1}  return function()    local ret = {}    for i, v in ipairs(t) do      if t[i-1] and v == t[i-1] then        ret[#ret - 1] = ret[#ret - 1] + 1      else        ret[#ret + 1] = 1        ret[#ret + 1] = v      end    end    t = ret    n = n - 1    if n > 0 then return table.concat(ret) end  endendfor i in lookAndSay(10) do print(i) end

PHP 实现：

<?php/** * @Author: suifengtec * @Date:   2017-08-22 03:57:46 * @Last Modified by:   'suifengtec' * @Last Modified time: 2017-08-22 03:59:52 *//*php -S 127.0.0.1:9988 http://127.0.0.1:9988/las.php */function lookAndSay($str) { 	return preg_replace_callback('#(.)\1*#', function($matches) {		return strlen($matches[0]).$matches[1];	}, $str);} $num = '1';foreach(range(1,10) as $i) {	echo $num.'<br/>';	$num = lookAndSay($num);}

Python 实现：

# -*- coding: utf-8 -*-# @Author: suifengtec# @Date:   2017-08-22 04:00:59# @Last Modified by:   'suifengtec'# @Last Modified time: 2017-08-22 04:02:27## Look and Say 数列的 Python 实现# python las.py#def lookAndSay(number):    result = ""    repeat = number[0]    number = number[1:]+" "    times = 1    for actual in number:        if actual != repeat:            result += str(times)+repeat            times = 1            repeat = actual        else:            times += 1    return resultnum = "1"for i in range(10):    print(num)    num = lookAndSay(num)

Rust 中的实现：

/*rustc -o rs.exe las.rs && rs */fn las(in_seq: &[i8]) -> Vec<i8> {    assert!(!in_seq.is_empty());     let mut result = Vec::new();    let mut current_number = in_seq[0];    let mut current_runlength = 1;     for i in &in_seq[1..] {        if current_number == *i {            current_runlength += 1;        } else {            result.push(current_runlength);            result.push(current_number);            current_runlength = 1;            current_number = *i;        }    }    result.push(current_runlength);    result.push(current_number);    result} fn main() {    let mut seq = vec![1];     for i in 0..10 {        println!("{}=>{:?}", i, seq);        seq = las(&seq);    }}

Go 语言的实现:

/** @Author: coolwp.com* @Date:   2017-08-22 01:55:09* @Last Modified by:   suifengtec* @Last Modified time: 2017-08-22 02:37:27**/package mainimport (	"fmt"	"math"	"strconv"	"strings")// 获取以 1 为种子数的Look-and-say 数列任意位置的数字func getNumberOfLookAndSaySequeceSeed1(position int) int {	if position == 1 {		return 1	}	if position == 2 {		return 11	}	str := "11"	for i := 3; i <= position; i++ {		str += "$"		length := len(str)		tmp := ""		cnt := 1		for j := 1; j < length; j++ {			strSlice := strings.Split(str, "")			if strSlice[j] != strSlice[j-1] {				cntTmp := strconv.Itoa(cnt)				tmp += cntTmp				tmp += strSlice[j-1]				cnt = 1			} else {				cnt++			}		}		str = tmp	}	v, err := strconv.Atoi(str)	//v, err := strconv.ParseInt(str, 10, 64)	if err != nil {		return -1	}	if v > math.MaxInt32 {		return -1	}	return v}// 给定任意种子数 seed, 获取 LookAndSay 数列的 第 position 项func getNumberOfLookAndSaySequece(seed int, position int) int {	if seed == 22 {		return 22	}	if position == 1 {		return seed	}	seedStr := strconv.Itoa(seed)	str := "2" + seedStr	if position == 2 {		v, err := strconv.Atoi(str)		if err != nil {			return -1		}		if v > math.MaxInt32 {			return -1		}		return v	}	for i := 3; i < position; i++ {		str += "$"		length := len(str)		tmp := ""		cnt := 1		for j := 1; j < length; j++ {			strSlice := strings.Split(str, "")			if strSlice[j] != strSlice[j-1] {				cntTmp := strconv.Itoa(cnt)				tmp += cntTmp				tmp += strSlice[j-1]				cnt = 1			} else {				cnt++			}		}		str = tmp	}	r, err := strconv.Atoi(str)	if err != nil {		return -1	}	if r > math.MaxInt32 {		return -1	}	return r}func main() {	position := 5	a := getNumberOfLookAndSaySequeceSeed1(position)	seed := 1	pos := 5	b := getNumberOfLookAndSaySequece(seed, pos)	fmt.Println(a)	fmt.Println(b)}

PS: 由于这个 js 不支持 Go 语言代码高亮，并且缩进也显示有问题， 所以请在粘贴后执行 go fmt。

结论

有一种声音认为：宇宙是一个程序，这个数列和康威常数用数字支持了这种说法。