开头先啰嗦一句：想学好博弈，必然要花费很多的时间，深入学习，不要存在一知半解，应该是一看到题目，就想到博弈的类型。

以及，想不断重复不断重复，做大量各大oj网站的题目，最后吃透它。

博弈：

　　博弈论又被称为对策论（Game Theory），既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。

博弈，具体的例子就是下棋，双方都考虑最有利于自已的步骤，但是最终必有一方输，一方赢。

　　博弈的策略：参与者在行动之前所准备好的一套完整的行动方案，就是想好下完这步棋，对方会如何下，

以及接下来该如何下，最终得出结果。

常见的博弈有以下：

1.博弈：合作博弈和非合作博弈
   合作博弈：指参与者能够达成一种具有约束力的协议，在协议范围内选择有利于双方的策略
   非合作博弈：指参与者无法达成这样一种协议
2.博弈：静态博弈和动态博弈
   静态博弈：指在博弈中，参与者同时选择，或虽非同时选择，但是在逻辑时间
                   上是同时的。（期末老师评分与同学给老师评分）
   动态博弈：指在博弈中，参与者的行动有先后顺序，且后行动者能够观察
                   到先行动者的行动。（下棋）
3.博弈：完全信息博弈与不完全信息博弈
   完全信息博弈：指在博弈中，每个参与者对其他参与者的类型，策略空间及损益函数都有准确的信息。（卖家与买家）
   不完全信息博弈:总有一些信息不是所有参与者都知道的
4.博弈：零和博弈与非零和博弈
   零和博弈：指博弈前的损益总和与博弈后的损益总和相等
   非零和博弈：指博弈后的损益大于（小于）博弈前的损益总和（正和或负和 ）

下面我主要讲一些关于比赛中用到的博弈类型：

首先你要理解必胜状态和必败状态：

　　对下先手来说，

　　一个状态是必败状态当且仅当它的所有后继都是必败状态。

　　一个状态是必胜状态当且仅当它至少有一个后继是必败状态。

　　就是说，博弈者，一旦捉住了胜利的把柄，必然最后胜利。

博弈中常常用到的：

　　两个数，不用中间变量实现交换。
　　a b;
　　a = a^b;
　　b = a^b;
　　a = a^b;

巴什博弈：

百度百科：

　　巴什博弈：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物， 规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

　　显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。对于巴什博弈，那么我们规定，如果最后取光者输，那么又会如何呢？（n-1）%（m+1）==0则后手胜利

先手会重新决定策略，所以不是简单的相反行的

例如n=15，m=3

后手 先手 剩余

0 2 13

1 3 9

2 2 5

3 1 1

1 0 0

先手胜利 输的人最后必定只抓走一个，如果>1个，则必定会留一个给对手

请去刷一下的题目，均是巴什博弈

HDU1846  HDU1847   HDU2147  HDU2149  HDU2188 HDU2897

威佐夫博弈：

　　一定要去百度百科上面，先理解透意思。

　　下面是一些威佐夫博弈的总结：

　　威佐夫博弈（Wythoff's game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)（表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。

前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。注：k表示奇异局势的序号， 第一个奇异局势k=0。

可以看出,a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] + k。

设当前局势为(a,b）； a <= b
①a==b：同时从两堆取走a个石子，转化为(0,0)
②a==a[k]&&b>b[k]：从第二堆取走b−b[k]个石子，转化为(a,b[k])
③a==a[k]&&b<b[k]：同时从两堆取走a−a[b−a]个石子，转化为(a[b−a],b−a+a[b−a])
④a>a[k]&&b==b[k]：从第一堆取走a−a[k]个石子，转化为(a[k],b)
⑤a<a[k]&&b==b[k]：若a==a[j] (j<k)，则从第二堆取走b−b[j]个石子，转化为(a,b[j])；

　　否则必有a==b[j](j<k)a==b[j](j<k)，则从第二堆取走b−a[j]b−a[j]个石子，转化为(a[j],a)

　　例如5  8 ，5>a(8-5)=a3=4  8>b(8-5)=b3=7 从两堆中取走a-a(b-a)=5-4=1个，变成奇异局势(4,7)。

　　例如4 6 ，4>a(6-4)=a2=3  6>b(6-4)=b2=5 从两堆中取走a-a(b-a)=4-3=1个，变成奇异局势(3,5)。

　　可以理解成变成差为b-a的奇异局势。

如果a=bk并且b-a!=k，则从b堆中取走b-ak个，变成奇异局势(ak，bk).

　　例如，5 10 ，5=b2 10-5=5!=2 则从10中取走10-a2=10-3=7个，变成奇异局势(3,5)。

为什么要b-a!=k呢？例如7 10 ， 7=a3，10-7=3=k 也可以变成奇异局势(4,7)。但这已经在4）判断过了。

　　奇异局势就是当你面临这种情况的时候，你必然是输的，反之，你必赢。

　　（a,b）,a,b两堆物品的重量，此处是b>a;

　　解题的技巧：

　　if a > b , 交换两个值。

　　c = b-a;

　　c = （int）(c*(（根号5）+1)/2）

　　if(c == b)  先手必输

　　else 先手必赢

　　题目：HDU1527 HDU2177特别要注意HDU2177这道题目。

尼姆博弈（Nimm Game）：

尼姆博弈指的是这样一个博弈游戏：  有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，  取到最后一件物品的人获胜。

结论就是：把每堆物品数全部异或起来，如果得到的值为0，那么先手必败，否则先手必胜。

　　可以参考这个网站，https://blog.csdn.net/u011644423/article/details/37870703。

原文出处：https://www.cnblogs.com/674001396long/p/9901811.html